Calculadora de ecuaciones

Acerca de Calculadora de ecuaciones

Esta calculadora resuelve ecuaciones polinómicas de grado 1 a 4, y ninguna de grado mayor. Los coeficientes pueden ser enteros, fracciones, decimales o pequeñas expresiones con √, ∛, π y e (2√5, π−1). Si los coeficientes se leen como racionales exactos, las raíces aparecen en forma cerrada, como √2 o (−3 + √17)/4; las que no tienen forma cerrada sencilla se muestran con seis decimales. Las raíces complejas siempre se incluyen, así que una ecuación de grado n muestra n raíces, contando las repetidas.

El método depende de la ecuación. Una cuadrática con discriminante cuadrado perfecto se factoriza; si no, se usa la fórmula general y la compleción del cuadrado. Una cúbica con raíz racional pasa por el teorema de la raíz racional y la regla de Ruffini; una cúbica con tres raíces reales irracionales se resuelve por sustitución trigonométrica, y la fórmula de Cardano siempre aparece como alternativa general. Las cuárticas usan la sustitución bicuadrada, Ruffini o el método de Ferrari, y cuando nada de eso funciona limpiamente, el método de Durand–Kerner aproxima las cuatro raíces a la vez. El primer método de la lista es el más adecuado para esa ecuación.

Por qué se detiene en el grado cuatro: el teorema de Abel–Ruffini

La cuadrática tiene su fórmula general, la cúbica la de Cardano y la cuártica el método de Ferrari: en los tres casos las raíces se escriben con operaciones aritméticas y radicales aplicados a los coeficientes. A partir del grado cinco no existe una fórmula general así. Paolo Ruffini publicó una demostración incompleta en 1799 y Niels Henrik Abel una completa en 1824; más tarde Galois explicó exactamente qué ecuaciones se pueden resolver por radicales.

El teorema no dice que la fórmula esté por descubrir, sino que no puede existir. La raíz real de x⁵ − x − 1 = 0 (aproximadamente 1,1673) no se puede escribir con radicales, y ecuaciones así se resuelven numéricamente con tantas cifras como haga falta. Como esta herramienta admite grado cuatro como máximo, conviene reducir el grado antes cuando se pueda: x⁶ − 5x³ + 4 = 0 se convierte en t² − 5t + 4 = 0 con t = x³, de donde t = 1 o 4 y las raíces reales son x = 1 y x = ∛4.

Cuando la fórmula general falla en un ordenador

Las raíces de x² + 100.000.000x + 1 = 0 son aproximadamente −100.000.000 y −0,00000001. Calcular la pequeña como (−b + √(b² − 4ac)) ÷ 2a obliga a restar dos números que coinciden en casi todas sus cifras: −10⁸ y √(10¹⁶ − 4). La doble precisión guarda unas 16 cifras significativas, así que la resta borra las primeras y deja sobre todo error de redondeo. Es lo que se llama cancelación catastrófica. En doble precisión la fórmula devuelve unos −0,00000000745 en lugar de −0,00000001: un error del 25 %.

La solución clásica, descrita en el conocido artículo de Goldberg sobre aritmética de coma flotante, es la que usa esta calculadora: calcular primero la raíz grande con el signo que suma magnitudes, x₁ = (−b − √D) ÷ 2a si b es positivo (+√D si es negativo), y obtener la pequeña con la relación de Cardano-Vieta x₂ = c ÷ (a·x₁). Así no se restan números casi iguales, y con 1, 100000000, 1 la raíz pequeña sale −1e-8 (−1 × 10⁻⁸), correcta hasta unas 16 cifras significativas. Una raíz pequeña que con seis decimales se redondearía a 0 se muestra en notación exponencial. La misma elección de signo se aplica cuando una cúbica o cuártica se reduce a una cuadrática mediante una raíz racional, y dentro de las raíces cúbicas de la fórmula de Cardano.

El problema contrario, un discriminante que debería ser cero pero sale ligeramente positivo, sí está resuelto dentro de la herramienta: el signo de b² − 4ac se juzga en proporción al tamaño de b² y 4ac, no con un umbral fijo. Por eso 10⁶(x − √5)², cuyo discriminante calculado es 0,0078, se reconoce como raíz doble.

Cúbicas con tres raíces reales e imaginarios en la fórmula

x³ − 3x + 1 = 0 tiene tres raíces reales (aproximadamente 1,532, 0,347 y −1,879), pero la fórmula de Cardano mete la raíz cuadrada de un número negativo dentro de sus raíces cúbicas. Los algebristas del siglo XVI lo llamaron casus irreducibilis, y se ha demostrado que ninguna fórmula con radicales reales lo evita. Fue precisamente este caso el que obligó a tomarse en serio los números imaginarios: las partes imaginarias se cancelan, pero solo después de operar con ellas.

Para estas cúbicas la calculadora muestra primero la sustitución trigonométrica. La identidad del ángulo triple cos 3θ = 4cos³θ − 3cos θ tiene la misma forma que una cúbica reducida, así que con x = 2cos θ la ecuación se convierte en cos 3θ = −1/2 y da las tres raíces reales sin pasar por los complejos.

Qué revisar si las raíces salen en decimales

• Escribe 1/3, no 0,333. Las fracciones se leen como racionales exactos y permiten usar la raíz racional y las formas cerradas; 0,333 es otra ecuación.
• Si en una cuártica aparece primero Durand–Kerner, no tiene raíces racionales y no es bicuadrada ni simétrica. Las raíces son aproximaciones iterativas.
• Un coeficiente principal 0 baja el grado automáticamente. Todo ceros es una identidad (cualquier número es solución); una constante distinta de cero sola no tiene solución.
• En la gráfica, cada corte con el eje x es una raíz real; un punto donde la curva solo toca el eje es una raíz doble.

Ejemplos

Cómo se usa

1. Elige el grado e introduce los coeficientes desde la potencia mayor hasta el término independiente; 0 para los que falten.
2. Puedes escribir fracciones como 1/3 y expresiones con √ o π tal cual.
3. Consulta las raíces, el método recomendado, las alternativas y la gráfica.

Preguntas frecuentes