방정식 계산기

방정식 계산기 소개

이 계산기는 1차부터 4차까지의 다항방정식만 풉니다. 계수는 정수·분수·소수뿐 아니라 √, ∛, π, e가 섞인 식(예: 2√5, π−1)으로 넣을 수 있고, 계수를 정확한 유리수로 읽을 수 있으면 근도 √2, (−3 + √17)/4 같은 닫힌 형태로 보여 줍니다. 닫힌 형태로 적을 수 없는 근은 소수 6자리 근사값으로 나옵니다. 복소수 근도 빠짐없이 표시하므로 n차 방정식은 중근을 포함해 항상 n개의 근이 나옵니다.

풀이법은 방정식마다 다르게 고릅니다. 판별식이 완전제곱수면 인수분해, 아니면 근의 공식과 완전제곱식, 3차는 유리근 정리와 조립제법이 먹히면 그것을, 세 실근인데 유리근이 없으면 삼각함수 치환을, 4차는 복이차식 치환·조립제법·페라리 해법, 어떤 것도 깔끔하지 않으면 듀랑–커너 반복법으로 네 근을 동시에 근사합니다. 맨 위에 나온 풀이가 그 방정식에 가장 알맞은 방법입니다.

왜 4차까지만 푸는가: 아벨–루피니 정리

2차는 근의 공식, 3차는 카르다노 공식, 4차는 페라리 해법이 있어 계수에 사칙연산과 거듭제곱근만 써서 근을 적을 수 있습니다. 5차부터는 이런 공식이 존재하지 않는다는 것이 아벨–루피니 정리입니다. 루피니가 1799년에 불완전한 증명을 냈고, 아벨이 1824년에 완전한 증명을 발표했습니다.

「공식을 아직 못 찾았다」가 아니라 「일반 공식이 있을 수 없다」는 뜻입니다. 예를 들어 x⁵ − x − 1 = 0의 실근(약 1.1673)은 거듭제곱근으로 적을 수 없습니다. 이런 방정식은 뉴턴법 같은 수치해석으로 원하는 자릿수까지 근사하는 수밖에 없습니다. 이 계산기는 5차 이상을 받지 않으므로, 차수를 낮출 수 있는 경우(예: x⁶ − 5x³ + 4 = 0은 t = x³으로 두면 2차) 먼저 치환해서 넣어야 합니다.

근의 공식이 컴퓨터에서 틀리는 경우

x² + 100,000,000x + 1 = 0의 두 근은 약 −100,000,000과 −0.00000001입니다. 그런데 근의 공식 (−b + √(b² − 4ac)) ÷ 2a로 작은 근을 계산하면 거의 같은 두 수 −10⁸과 √(10¹⁶ − 4)를 빼게 됩니다. 컴퓨터의 배정밀도 실수는 유효숫자가 약 16자리라서, 뺄셈으로 앞자리가 다 지워지고 반올림 오차만 남습니다. 이것을 자릿수 소거(catastrophic cancellation)라고 합니다. 실제로 배정밀도로 계산하면 −0.00000001이 아니라 약 −0.00000000745가 나와 25%나 틀립니다.

해결책은 잘 알려져 있고, 이 계산기도 그 방법을 씁니다. 부호가 같은 쪽으로 큰 근 x₁ = (−b − √D) ÷ 2a를 먼저 구하고(b가 음수면 +√D 쪽), 작은 근은 근과 계수의 관계 x₂ = c ÷ (a·x₁)로 구하면 거의 같은 수끼리 빼는 일이 없습니다. 그래서 1, 100000000, 1을 넣으면 작은 근이 −1e-8(−1×10⁻⁸)로 유효숫자 16자리까지 맞게 나옵니다. 소수 6자리로 반올림하면 0이 되는 작은 근은 지수 표기로 보여 줍니다. 3·4차에서 유리근으로 차수를 낮춘 뒤 남은 이차식을 풀 때와 카르다노 공식의 세제곱근 안쪽을 계산할 때도 같은 원리로 부호를 골라 소거를 피합니다.

반대로 판별식이 0에 가까울 때(중근 근처)는 이 계산기가 따로 대비합니다. b²와 4ac의 크기에 비례한 허용오차로 판별식의 부호를 판정하기 때문에, 10⁶(x − √5)²처럼 계수가 커서 판별식이 0.0078로 계산되는 경우에도 중근으로 판정합니다.

세 실근인데 허수가 나오는 3차방정식

x³ − 3x + 1 = 0은 세 근이 모두 실수(약 1.532, 0.347, −1.879)인데, 카르다노 공식에 넣으면 세제곱근 안에 음수의 제곱근이 들어갑니다. 16세기 수학자들이 「환원 불능(casus irreducibilis)」이라 부른 경우로, 실수만으로는 거듭제곱근 공식을 쓸 수 없다는 것이 증명되어 있습니다. 허수가 처음 진지하게 다뤄진 계기가 바로 이 문제였습니다.

이 계산기는 이 경우 삼각함수 치환(x = 2cos θ 꼴)을 우선 풀이로 보여 줍니다. 코사인의 3배각 공식 cos 3θ = 4cos³θ − 3cosθ가 3차식과 같은 모양이라, 허수를 거치지 않고 세 실근을 바로 얻을 수 있습니다.

근이 소수로만 나올 때 확인할 것

• 계수를 0.333처럼 반올림해서 넣지 말고 1/3로 넣으세요. 분수는 정확한 유리수로 읽히므로 유리근 정리와 닫힌 형태를 쓸 수 있습니다.
• 4차에서 「듀랑–커너 수치해법」이 맨 위에 나오면 유리근도 없고 복이차식·대칭형도 아니라는 뜻입니다. 이때 근은 반복 계산의 근사값입니다.
• 최고차항 계수를 0으로 두면 차수가 자동으로 내려갑니다. 모든 계수가 0이면 항등식(모든 수가 해), 상수만 남으면 해가 없습니다.
• 그래프 풀이에서 x축과 만나는 점의 개수가 실근의 개수입니다. 접하는 점은 중근입니다.

예시

사용 방법

1. 차수를 고르고 최고차항부터 상수항까지 계수를 넣습니다. 빈 항은 0입니다.
2. 분수(1/3)나 √, π가 들어간 식도 그대로 입력할 수 있습니다.
3. 근 목록과 함께 추천 풀이와 대안 풀이, 그래프가 나옵니다.

자주 묻는 질문