Caos y dependencia sensible: del número redondeado de Lorenz al efecto mariposa

Si metes los mismos números en las mismas ecuaciones, obtienes la misma respuesta. En los años cincuenta, los meteorólogos que empezaban a calcular el tiempo con máquinas contaban precisamente con eso: medir la atmósfera con más detalle, construir ordenadores más rápidos y alargar los pronósticos tanto como se quisiera. Lo que echó abajo esa esperanza fue, curiosamente, teclear tres cifras de menos.

Invierno de 1961: 0,506 en lugar de 0,506127

Edward Lorenz, meteorólogo del MIT, hacía funcionar un modelo atmosférico de doce variables en un pequeño ordenador Royal McBee LGP-30. Un día quiso ver con más detalle una parte de una simulación anterior. En vez de empezar desde el principio, copió los valores de la mitad del listado impreso y los volvió a introducir. La máquina trabajaba internamente con seis decimales, como 0,506127, pero el listado solo mostraba tres, como 0,506. Una diferencia de una parte en mil parecía inofensiva.

Se fue a por un café. Cuando volvió, alrededor de una hora después, la nueva simulación había seguido a la antigua al principio, luego se había ido separando y, al cabo de unos pocos meses simulados, las dos no se parecían en nada. Como resumió después APS News, lo importante es que nada había fallado. Un error de redondeo diminuto había crecido de forma constante a medida que avanzaba el cálculo, hasta dominar la solución.

Lorenz condensó el fenómeno en un sistema mucho más sencillo y publicó «Deterministic Nonperiodic Flow» («Flujo no periódico determinista») en el Journal of the Atmospheric Sciences en 1963. Modelaba la convección en una capa de fluido calentada por abajo con solo tres variables, x, y y z, y de ahí sale la figura que hoy llamamos atractor de Lorenz. La conclusión del resumen se entiende todavía sin esfuerzo: en los sistemas cuyas soluciones permanecen acotadas, las soluciones no periódicas suelen ser inestables ante pequeñas modificaciones, de modo que estados iniciales ligeramente distintos pueden evolucionar hacia estados considerablemente diferentes. Lorenz sacó directamente la consecuencia para el tiempo atmosférico: si la atmósfera se comporta así, predecir un futuro suficientemente lejano es imposible salvo que se conozcan con exactitud las condiciones presentes.

Determinista, pero no predecible

A principios del siglo XIX, Laplace imaginó una inteligencia que conociera todas las fuerzas y la posición de cada partícula; para ella, escribió, nada sería incierto y el futuro estaría tan presente como el pasado. El caos no discute la primera mitad de esa imagen. Las ecuaciones de Lorenz no tienen azar y el péndulo doble obedece la mecánica de Newton sin más. Con los mismos valores iniciales se obtienen siempre las mismas trayectorias. Lo que falla es suponer que alguien puede conocer esos valores iniciales con suficiente exactitud.

Conviene separar dos propiedades:

• Determinismo: exactamente el mismo estado inicial da exactamente el mismo futuro.
• Predictibilidad: un estado inicial ligeramente distinto da un futuro solo ligeramente distinto.

La mayoría de los cálculos cotidianos tienen las dos. Si apuntas un cañón 0,1° desviado, el proyectil cae solo un poco más allá. Un sistema caótico tiene la primera y carece de la segunda. Como ninguna medición real es infinitamente precisa, una ley determinista no garantiza conocer el futuro lejano.

Lorenz no fue el primero en darse cuenta. Henri Poincaré, estudiando el problema de los tres cuerpos hacia 1890, vio que las órbitas podían depender de forma extremadamente delicada de las condiciones iniciales, y en Ciencia y método (1908) escribió que pequeñas diferencias en las condiciones iniciales pueden producir diferencias enormes en los fenómenos finales, lo que hace imposible la predicción. La aportación de Lorenz fue mostrar, con un ordenador, que no se trataba de una rareza de la mecánica celeste: aparecía en unas pocas ecuaciones y en un problema muy práctico, el tiempo.

¿A qué velocidad? Los exponentes de Lyapunov

El exponente de Lyapunov λ, llamado así por el matemático ruso Aleksandr Lyapunov, que estudió la estabilidad del movimiento a finales del siglo XIX, pone número a «ligeramente distinto acaba siendo muy distinto». Si la distancia δ entre dos trayectorias cercanas crece en promedio como δ(t) ≈ δ₀·e^{λt}, un λ positivo indica que el sistema es sensible a las condiciones iniciales.

Con los parámetros de Lorenz (σ = 10, ρ = 28, β = 8/3), el mayor exponente vale unos 0,906, así que un error se duplica cada ln 2 ÷ 0,906 ≈ 0,77 unidades de tiempo del modelo. La consecuencia importante está en el tiempo que tarda un error en alcanzar cierta tolerancia Δ:

t ≈ (1/λ) · ln(Δ/δ₀)

El horizonte de predicción solo crece con el logaritmo de la precisión inicial. Si reduces mil veces el error inicial, ganas ln(1000)/λ, unas 7,6 unidades de tiempo en el sistema de Lorenz. Comparado con el coste de fabricar instrumentos mil veces mejores, es un rendimiento pobre.

Puedes comprobar esta relación en el simulador de péndulo doble. Lanza dos péndulos de brazos de 1 m desde un ángulo grande y reduce la diferencia entre ellos por factores de mil, de 10⁻³ rad a 10⁻¹² rad: cada paso retrasa la separación visible solo unos tres segundos. También se ha medido en aparatos reales: en 1992, Shinbrot y sus colegas informaron de que la incertidumbre en un péndulo doble físico crecía con un exponente λ = 7,5 ± 1,5 por segundo.

El tiempo atmosférico muestra la misma estructura. Zhang y sus colegas (2019) hicieron funcionar modelos globales de alta resolución casi sin error inicial y estimaron el límite último de la predictibilidad del tiempo diario en latitudes medias en unas dos semanas. La capacidad práctica actual ronda los 9 o 10 días; reducir los errores iniciales en un orden de magnitud podría añadir unos cuantos días más, pero mejorar las observaciones no permite ir mucho más allá de ese límite.

Un movimiento que se detiene también puede ser impredecible: fronteras fractales

El caos suele evocar algo que se mueve de forma errática para siempre. Pero un sistema que sin duda acabará en reposo puede dejarte igualmente sin saber dónde.

El péndulo magnético es el ejemplo clásico. Cuelga una bola de hierro sobre tres imanes y el rozamiento garantiza que acabará parada sobre uno de ellos. Si pintas cada punto de partida del color del imán en el que termina, obtienes zonas amplias de un solo color separadas por bandas donde los tres colores se entrelazan finamente. Al ampliar una banda aparecen bandas más estrechas dentro. Son fronteras fractales entre cuencas de atracción.

McDonald, Grebogi, Ott y Yorke (1985) analizaron lo que estas fronteras significan para la predicción. Si conoces el punto de partida con una precisión ε, la probabilidad de equivocarte en el resultado baja como ε^α, y con una frontera fractal α es menor que 1. Medir diez veces mejor no reduce diez veces los errores. No tiene nada que ver con calcular durante mucho tiempo: tarde el péndulo 30 segundos o tres minutos en pararse, si no conoces el inicio con suficiente precisión, no conoces la respuesta.

De dónde viene «el efecto mariposa»

El artículo de Lorenz de 1963 no habla de mariposas. La expresión procede del título de una charla que dio el 29 de diciembre de 1972 en la 139.ª reunión de la Asociación Estadounidense para el Avance de la Ciencia (AAAS), en Washington: «Predictability: Does the Flap of a Butterfly’s Wings in Brazil Set Off a Tornado in Texas?» («Predictibilidad: ¿el aleteo de una mariposa en Brasil desencadena un tornado en Texas?»). Lorenz explicó más tarde que, como no entregó un título a tiempo, lo inventó el coordinador de la sesión, el meteorólogo Philip Merilees. Que el atractor de Lorenz recuerde a unas alas es pura coincidencia.

La charla fue más prudente que el eslogan que generó. Lorenz dijo que, para no parecer frívolo por el mero hecho de plantear la pregunta, ofrecería antes dos proposiciones. La primera: si un solo aleteo de una mariposa pudiera contribuir a generar un tornado, también podrían hacerlo todos los aleteos anteriores y posteriores, los de millones de otras mariposas y la actividad de otras incontables criaturas, incluidas las personas; y un aleteo podría igualmente contribuir a evitar un tornado. La segunda: esas perturbaciones minúsculas no aumentan ni disminuyen la frecuencia de fenómenos como los tornados; como mucho pueden cambiar el orden en que ocurren. También reconoció que aún no podía decidirse si la atmósfera era realmente inestable de ese modo.

Así que leer el efecto mariposa como «la mariposa causó el tornado» es darle la vuelta. Lo que Lorenz quería decir es que hay mezcladas incontables diferencias pequeñas, demasiadas para señalar una causa, y no hay manera de saber de antemano cuál decidirá el resultado.

Cuatro malentendidos frecuentes

El caos es azar. No. El caos surge en sistemas con reglas completamente fijas. Las partículas del atractor de Lorenz no vagan por cualquier sitio: se reúnen sobre una estructura fina de dos alas. Las trayectorias individuales son impredecibles, pero la forma de conjunto es siempre la misma.

Los cambios pequeños siempre tienen efectos grandes. Tampoco. Un péndulo doble que oscila con ángulos pequeños mantiene pequeños sus errores. Si en las ecuaciones de Lorenz bajas ρ por debajo de unos 24,74 (más exactamente, de unos 24,06), todas las trayectorias acaban posándose en un punto fijo. La dependencia sensible aparece en condiciones concretas.

Si no se puede predecir el tiempo, tampoco el clima. El tiempo de un día concreto y las estadísticas de muchos años son preguntas distintas. En el atractor de Lorenz la posición de una partícula se vuelve incognoscible enseguida, pero estadísticas como la fracción de tiempo que pasa en cada ala son estables. Las proyecciones climáticas trabajan con estadísticas de ese tipo. La observación de Lorenz en 1972, que las perturbaciones pequeñas cambian el orden de los sucesos pero no su frecuencia, hace la misma distinción.

Con mejores ordenadores se resolverá. Como el horizonte de predicción solo crece con el logaritmo del error inicial, aumentos enormes de potencia de cálculo y de precisión de medida compran relativamente poco tiempo. Por eso la predicción operativa pasó de una única simulación a la predicción por conjuntos: decenas de simulaciones desde puntos de partida ligeramente distintos, usando la dispersión de los resultados para juzgar cuánto fiarse del pronóstico. Es la misma idea que lanzar cien péndulos a la vez en el simulador de péndulo doble.

Pruébalo

• En el péndulo doble, cronometra la separación mientras cambias la diferencia inicial de 10⁻³ a 10⁻¹² rad, y repite con ángulos pequeños (10°) para comparar.
• En el atractor de Lorenz, pon ρ en 28, 24,5, 20 y 0,5 para ver cómo el caos se enciende y se apaga.
• En el péndulo magnético, baja el rozamiento de 0,4 a 0,05 para ver cómo se extienden las fronteras, y toca dos puntos vecinos de una frontera para ver dónde se separan sus trayectorias.