Atractor de LorenzBeta

Acerca de Atractor de Lorenz

Cada punto de la pantalla es una partícula que obedece las ecuaciones de Lorenz dx/dt = σ(y − x), dy/dt = x(ρ − z) − y, dz/dt = xy − βz. Por defecto, 3.000 partículas salen repartidas al azar dentro de una cajita de 0,5 unidades de lado centrada en (1, 1, 20). Cada una se integra con RK4 con pasos de tiempo no mayores de 0,004, y su estela une sus últimas 16 posiciones.

La lectura de tiempo es el tiempo adimensional de las ecuaciones; a velocidad 1× avanzan 0,5 unidades por segundo real. La dispersión es la suma de las desviaciones típicas en x, y y z. Empieza en torno a 0,44 e indica si la nube sigue siendo un solo grupo o ya se ha repartido por todo el atractor.

Qué significaban x, y y z

En su artículo de 1963, Lorenz obtuvo estas tres ecuaciones como un modelo drásticamente recortado de la convección en una capa de fluido calentada por abajo. x es la intensidad del rollo convectivo (su signo, el sentido de giro), y es la diferencia de temperatura entre el fluido que sube y el que baja, y z mide cuánto se aparta de una recta el perfil vertical de temperatura. σ es el número de Prandtl (viscosidad frente a difusión del calor), ρ es el número de Rayleigh dividido por su valor crítico (cuánto se calienta la capa) y β es una constante que depende de la forma de la celda. Lorenz usó σ = 10, β = 8/3 y ρ = 28, que es lo que restaura el botón «Clásico».

Así, una partícula que da vueltas en un ala representa un rollo girando en un sentido, y el salto a la otra ala es la inversión del giro. La gracia del modelo era que no se puede saber de antemano cuántas vueltas dará antes de la siguiente inversión.

Experimento 1: la velocidad a la que se rompe la nube

Reinicia con los valores por defecto y mira la dispersión. Con la misma distribución inicial calculada aparte, la dispersión era de 1,2 en el tiempo 1 y había saltado a unos 30 antes del tiempo 2; a 1×, la nube se parte en dos alas en unos cuatro segundos reales. Es tan rápido porque el punto de partida está donde x es casi cero, y parte de la nube va directa al ala izquierda mientras el resto va a la derecha.

Después la dispersión oscila entre 20 y 30 sin crecer más, porque el atractor está acotado. Si la nube inicial hubiera sido mucho más estrecha, por ejemplo de 0,0001, habría viajado como un solo punto durante 8 a 10 unidades de tiempo y luego habría crecido por factores de 10 y de 100 hasta el mismo final. Esta herramienta fija la dispersión inicial en 0,5, así que esa fase exponencial lenta no se puede ver aquí.

Experimento 2: apagar el caos con ρ

Por debajo de ρ = 1 el calentamiento no basta para que haya convección. Con ρ = 0,5 todas las partículas caen al origen, el estado sin movimiento. Por encima de ρ = 1 aparecen dos puntos fijos, C± = (±√(β(ρ−1)), ±√(β(ρ−1)), ρ−1), que son rollos estacionarios girando en uno u otro sentido. Con ρ = 20 están en (±7,12, ±7,12, 19) y las partículas caen en espiral hacia uno u otro según dónde empezaron.

Esos rollos pierden la estabilidad en ρ_H = σ(σ + β + 3)/(σ − β − 1). Con σ = 10 y β = 8/3 da 10 × 15,667 ÷ 6,333 = 24,74, el «unos 24,74» de la descripción. Pero no es tan sencillo. Para aproximadamente 24,06 < ρ < 24,74 coexisten los puntos fijos estables y el atractor caótico: con ρ = 24,5 muchas partículas siguen saltando de ala en ala después de 60 unidades de tiempo. Más abajo, entre unos 13,93 y 24,06, hay caos transitorio: las partículas vagan caóticamente un rato y al final se posan en un punto fijo (Kaplan y Yorke, 1979).

El horizonte de predicción según los exponentes de Lyapunov

Con los valores clásicos, el mayor exponente de Lyapunov es de 0,906: trayectorias cercanas se separan en promedio como e^{0,906t}. Una distancia se duplica cada ln 2 ÷ 0,906 ≈ 0,77 unidades de tiempo y se multiplica por diez cada 2,54. Con un error inicial de 10⁻⁶ y un atractor de unas 20 unidades, la predicción falla hacia ln(2×10⁷) ÷ 0,906 ≈ 18,6. Reducir mil veces el error inicial añade solo unas 7,6 unidades.

Los tres exponentes suman −(σ + 1 + β) = −13,67. Cualquier grupo de partículas pierde volumen por un factor e^{−13,67} en cada unidad de tiempo, estirado en una dirección y aplastado con más fuerza en otra; por eso acaban sobre una lámina de volumen cero. El cálculo de Sprott da al atractor una dimensión de unos 2,06: un fractal apenas más grueso que una superficie.

Lo que la simulación deja fuera

El sistema de Lorenz no es el tiempo atmosférico. Conserva solo tres modos de Fourier del problema de convección, y con calentamientos tan fuertes como ρ = 28 una capa de fluido real no se comporta así. Lo que Lorenz demostró es que un sistema determinista así de simple ya puede ser no periódico e impredecible. La vista es una proyección girada de un objeto 3D, de modo que desde algunos ángulos las alas se superponen y las órbitas parecen cruzarse; en tres dimensiones las trayectorias nunca se cortan. El control de β muestra 2,67, pero el botón «Clásico» pone exactamente 8/3.

Ejemplos

Cómo se usa

1. Mover σ, ρ o β cambia las ecuaciones sin mover las partículas; cambiar el número de partículas reinicia.
2. «Reiniciar» siembra una nube nueva cerca de (1, 1, 20).
3. Arrastra para girar la vista y sigue la dispersión y el tiempo para ver cuándo se deshace la nube.

Preguntas frecuentes

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