로렌즈 어트랙터베타

로렌즈 어트랙터 소개

화면의 점들은 모두 로렌즈 방정식 dx/dt = σ(y − x), dy/dt = x(ρ − z) − y, dz/dt = xy − βz를 따르는 입자다. 기본 3,000개가 (1, 1, 20)을 중심으로 한 변 0.5짜리 작은 상자 안에 무작위로 뿌려진 채 출발하고, 각 입자는 0.004 이하의 시간 간격으로 RK4 적분된다. 꼬리는 최근 16프레임 위치를 이은 것이다.

화면 아래 「시간」은 방정식 안의 무차원 시간이다. 1× 속도에서는 실제 1초에 모델 시간 0.5가 흐른다. 「퍼짐」은 x, y, z 각 축의 표준편차를 더한 값으로, 출발할 때 약 0.44다. 이 값이 입자 구름이 한 덩어리인지, 어트랙터 전체에 흩어졌는지를 알려 준다.

방정식의 세 변수는 무엇이었나

로렌즈가 1963년 논문에서 쓴 이 세 식은 아래에서 데워지는 유체층의 대류를 극단적으로 줄인 모형이다. x는 대류 회전의 세기(부호가 회전 방향), y는 올라가는 흐름과 내려가는 흐름의 온도 차, z는 세로 온도 분포가 직선에서 벗어난 정도에 해당한다. σ는 프란틀 수(점성과 열전도의 비), ρ는 임계값으로 나눈 레일리 수(가열 세기), β는 대류 칸의 모양에서 나오는 상수다. 로렌즈가 쓴 값이 σ = 10, β = 8/3, ρ = 28이고, 「고전값」 버튼이 이 값으로 돌려놓는다.

그래서 입자가 한쪽 날개를 도는 동안은 대류가 한 방향으로 돌고, 반대 날개로 넘어가는 순간은 회전 방향이 뒤집힌 것이다. 언제 넘어갈지를 미리 말할 수 없다는 것이 이 모형의 요점이었다.

관찰 실험 1: 구름이 찢어지는 속도

기본값으로 새로 시작하고 퍼짐 값을 보자. 같은 초기 분포로 직접 계산해 보면 모델 시간 1에서 퍼짐은 약 1.2이고, 시간 2가 되기 전에 30 안팎까지 뛴다. 1× 속도로 약 4초 만에 구름이 두 날개로 나뉘는 셈이다. 출발점 근처는 x가 거의 0이라 구름 일부는 왼쪽, 일부는 오른쪽 날개로 곧장 갈라지기 때문이다.

그다음에는 퍼짐이 20~30 사이를 오르내리며 더 커지지 않는다. 어트랙터 크기 자체가 유한하기 때문이다. 초기 차이가 아주 작았다면(예를 들어 0.0001) 구름은 모델 시간 8~10 동안 한 점처럼 모여 다니다가 퍼짐이 10배, 100배씩 늘며 같은 결말에 이른다. 이 도구는 초기 퍼짐을 0.5로 고정하므로 그 느린 단계는 볼 수 없다.

관찰 실험 2: ρ를 내리며 혼돈을 끄기

ρ < 1이면 가열이 약해 대류가 생기지 않는다. ρ = 0.5로 두면 모든 입자가 원점(대류 없음)으로 떨어진다. ρ > 1이면 원점 대신 두 고정점 C± = (±√(β(ρ−1)), ±√(β(ρ−1)), ρ−1)이 생긴다. 한 방향으로 꾸준히 도는 대류다. ρ = 20이면 C± = (±7.12, ±7.12, 19)이고, 입자들은 나선을 그리며 두 점 중 하나에 내려앉는다. 어느 쪽으로 가는지는 출발점에 따라 갈린다.

두 고정점이 불안정해지는 값은 ρ_H = σ(σ + β + 3)/(σ − β − 1)이다. σ = 10, β = 8/3을 넣으면 10 × 15.667 ÷ 6.333 = 24.74로, 도구 설명의 「약 24.74」가 여기서 나온다. 다만 약 24.06 < ρ < 24.74에서는 안정한 고정점과 혼돈 어트랙터가 함께 있다. ρ = 24.5로 두고 돌려 보면 모델 시간 60이 지나도 상당수 입자가 여전히 두 날개를 오간다. 더 낮은 ρ(약 13.93~24.06)에서는 한동안 혼돈처럼 떠돌다 결국 고정점에 붙는 일시적 혼돈이 나타난다(Kaplan·Yorke, 1979).

리아푸노프 지수로 읽는 예측 한계

클래식 값에서 가장 큰 리아푸노프 지수는 약 0.906이다. 가까운 두 궤적의 거리가 평균적으로 e^{0.906t}로 벌어진다는 뜻이다. 거리가 두 배가 되는 데 ln 2 ÷ 0.906 ≈ 0.77, 10배가 되는 데 2.54의 모델 시간이 걸린다. 초기 오차가 10⁻⁶이고 어트랙터 크기가 20쯤이라면 예측이 무너지는 시점은 대략 ln(2×10⁷) ÷ 0.906 ≈ 18.6이다. 오차를 1,000배 줄여도 약 7.6만 늘어난다.

세 지수의 합은 −(σ + 1 + β) = −13.67로 음수다. 구름이 차지하는 부피는 모델 시간 1마다 e^{−13.67}배로 줄어든다. 한쪽 방향으로는 늘어나고 다른 방향으로는 훨씬 세게 눌리기 때문에, 입자들은 부피가 0인 얇은 판 위로 모인다. Sprott가 계산한 이 끌개의 차원은 약 2.06으로, 면보다 아주 조금 두꺼운 프랙털이다.

이 시뮬레이션이 단순화한 것

로렌즈 방정식은 실제 날씨가 아니다. 대류를 푸리에 모드 3개만 남기고 잘라 낸 모형이어서, ρ = 28 같은 강한 가열에서는 실제 유체가 이렇게 움직이지 않는다. 로렌즈가 보여 준 것은 「이렇게 단순한 결정론적 계에서도 비주기적이고 예측 불가능한 운동이 나온다」는 점이었다. 화면은 입체를 회전 투영한 것이라 두 날개가 겹쳐 보이는 각도에서는 궤도가 교차하는 것처럼 보이지만, 3차원에서 궤도는 서로 교차하지 않는다. β 슬라이더는 2.67로 표시되지만 「고전값」 버튼은 정확한 8/3을 넣는다.

예시

사용 방법

1. σ, ρ, β 슬라이더를 바꾸면 입자는 그대로 두고 방정식만 바뀐다. 입자 수를 바꾸면 새로 시작한다.
2. 「처음부터」로 입자 구름을 (1, 1, 20) 근처에 다시 뿌린다.
3. 화면을 드래그해 시점을 돌리고, 퍼짐과 시간 값을 보며 구름이 언제 흩어지는지 확인한다.

자주 묻는 질문

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