자석 진자 카오스베타

자석 진자 카오스 소개

지도의 픽셀 하나하나가 실험 한 번이다. 그 지점에서 진자 끝을 정지 상태로 놓고, 0.02초 간격의 RK4로 최대 120초까지 계산해 어느 자석 위에 멈추는지 본 다음 그 자석의 색으로 칠한다. 멈추는 데 오래 걸린 곳일수록 어둡고, 30초 이상 걸리면 가장 어두운 색이 된다.

진자 끝의 수평 위치 p에 대한 운동 방정식은 p'' = −k·p − b·p' + Σ (mᵢ − p) / (|mᵢ − p|² + d²)^{3/2}이다. k는 중력에 의한 복원력, b는 마찰, d는 진자 끝과 자석 평면 사이 높이이고, 자석들은 반지름 1인 원 위에 같은 간격으로 놓인다. 자석이 3개일 때 1번(빨강)은 맨 위, 2번(초록)은 왼쪽 아래, 3번(파랑)은 오른쪽 아래다.

관찰 실험 1: 한 픽셀 옆에서 놓으면

기본값(마찰 0.2, 중력 0.5, 높이 0.25, 자석 3개)에서 원의 중심 바로 아래, 반지름의 두 배 거리인 (0, −2)에서 놓으면 진자는 가까운 아래쪽 자석들을 지나 가장 먼 맨 위의 1번 자석에 23.6초 만에 멈춘다. 오른쪽으로 0.01만 옮긴 (0.01, −2)에서 놓으면 3번 자석에 37.6초 만에 멈춘다. 기본 시야에서 0.01은 한두 픽셀 거리다.

지도를 탭하면 그 지점의 실제 궤적이 그려진다. 색이 한 덩어리로 넓게 칠해진 곳을 탭하고 조금씩 옮겨 보면 결과가 바뀌지 않지만, 여러 색이 줄무늬처럼 섞인 곳에서는 옆 픽셀로만 옮겨도 도착 자석이 달라진다. 결과가 달라지는 점들이 모인 경계가 이 지도의 본체다.

관찰 실험 2: 마찰을 줄이면 경계가 번진다

y = −1.2인 가로줄 위 x = −2부터 2까지 1,001개 점에서 놓아 보고, 이웃한 두 점의 도착 자석이 다른 횟수를 세어 봤다. 마찰 0.4에서는 10번, 0.2(기본값)에서는 36번, 0.1에서는 424번, 0.05에서는 672번이었다. 마찰이 작으면 진자가 자석들 사이를 더 오래 오가고, 그동안 작은 차이가 커질 기회가 많아진다. 0.05에서는 경계가 넓은 띠 전체로 번져 사실상 어느 자석에 갈지 모르는 영역이 된다.

마찰 0.05에서는 1,001개 중 8개가 120초 안에 멈추지 않았다. 이런 점은 마지막 위치에서 가장 가까운 자석의 가장 어두운 색으로 칠해진다. 마찰이 아주 작을 때 보이는 어두운 얼룩 일부는 계산 시간을 다 쓴 점이다.

관찰 실험 3: 자석 수와 중력

같은 줄에서 자석 개수만 바꾸면 경계를 넘는 횟수는 자석 2개일 때 6번, 3개 36번, 4개 132번, 6개 504번이었다. 자석 2개는 지도가 거의 반으로 나뉘어 경계가 단순하고, 개수가 늘수록 진자가 들를 수 있는 자석이 많아져 경로가 복잡해진다.

중력(복원력) k를 0.2에서 1.5로 올리면 같은 줄의 경계 횟수는 24번에서 194번으로 늘었다. 중심으로 끌어당기는 힘이 세면 진자가 자석 원 안쪽을 빠르게 여러 번 가로지르기 때문이다.

왜 경계가 프랙털이 되나

진자가 도착할 수 있는 곳(끌개)은 자석 위 정지점 세 개뿐이다. 각 끌개로 가는 초기점들의 집합을 끌개 영역(basin)이라 한다. 두 영역 사이 경계에 딱 걸린 점은 어느 쪽에도 도착하지 않고 불안정한 궤도를 따라간다. 경계 근처에서 출발한 진자는 그 불안정한 궤도 근처를 한동안 따라가다 떨어져 나가는데, 오래 머물수록 작은 차이가 증폭되어 결과가 갈린다. 그래서 경계를 확대하면 더 가는 줄무늬가 또 나타난다.

McDonald, Grebogi, Ott, Yorke(1985)는 이런 프랙털 경계에서 초기 위치를 ε만큼 정확히 알 때 결과를 틀릴 확률이 ε^α처럼 줄어든다고 설명했다. α가 1보다 작으면 정밀도를 10배 높여도 틀릴 확률은 10배보다 덜 줄어든다. 로렌즈 어트랙터처럼 끝없이 혼돈하는 계가 아니어도, 결국 멈추는 진자에서도 「어디에 멈출지」는 예측할 수 없다는 것이 이 지도의 요점이다.

이 모델이 단순화한 것

• 진자 끝이 평면 위를 움직인다고 보고 복원력을 −k·p로 둔 작은 진폭 근사다. 실제 진자 끝은 구면 위를 움직이므로 바깥쪽에서 놓을수록 차이가 커진다.
• 자석의 힘은 거리 제곱에 반비례하는 점 인력을 높이 d로 부드럽게 만든 것이다. 실제 자석은 쌍극자이고, 거리 세제곱 이상으로 빨리 약해진다.
• 마찰은 속도에 비례하는 선형 감쇠 하나뿐이다.
• 「멈춤」은 자석에서 0.05 이내이고 속력이 0.05 미만일 때로 판정한다. 높이를 약 0.37 이상으로 올리면 평형점이 자석에서 0.05보다 멀어지므로(높이 0.4에서 약 0.07, 0.5에서 약 0.14) 속력과 가속도가 모두 0.05 미만이 된 순간, 즉 평형점에 멈춘 순간을 멈춤으로 보고 가장 가까운 자석으로 분류한다. 높이를 0.6 가까이 올리면 자석의 끌림이 약해져 원의 중심 근처에 멈추는 점도 생긴다. 이런 점의 색은 멈출 때 조금 더 가까웠던 자석일 뿐 큰 의미는 없다.
• 정확히 원의 중심 (0, 0)은 이론상 모든 힘이 균형을 이루는 점이지만, 계산에서는 부동소수점 오차가 한쪽을 골라 약 65초 뒤 2번 자석에 멈춘다.

예시

사용 방법

1. 마찰·중력·높이·자석 수를 바꾸면 지도가 처음부터 다시 계산된다. 해상도 「빠르게」로 먼저 훑고 「선명하게」로 다듬는다.
2. 지도를 탭해 그 지점의 궤적과 도착 자석, 걸린 시간을 확인한다.
3. 색이 섞인 경계를 드래그로 가운데에 두고 확대해 더 가는 줄무늬를 찾는다.

자주 묻는 질문

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