Caos del Péndulo MagnéticoBeta

Acerca de Caos del Péndulo Magnético

Cada píxel del mapa es un experimento. Se suelta la punta del péndulo en reposo desde ese punto, se integra con RK4 en pasos de 0,02 s durante un máximo de 120 s y el píxel se pinta del color del imán sobre el que se detiene. Cuanto más tardó en pararse, más oscuro; si tardó 30 s o más, recibe el tono más oscuro.

La ecuación para la posición horizontal p de la punta es p'' = −k·p − b·p' + Σ (mᵢ − p) / (|mᵢ − p|² + d²)^{3/2}. k es la fuerza restauradora de la gravedad, b el rozamiento y d la altura de la punta sobre el plano de los imanes, que están repartidos por igual en un círculo de radio 1. Con tres imanes, el 1 (rojo) está arriba, el 2 (verde) abajo a la izquierda y el 3 (azul) abajo a la derecha.

Experimento 1: un píxel más allá

Con los valores por defecto (rozamiento 0,2, gravedad 0,5, altura 0,25, tres imanes), suelta el péndulo justo debajo del centro, al doble del radio de los imanes, en (0, −2). Pasa de largo los dos imanes inferiores, que están cerca, y se detiene sobre el más lejano, el 1 de arriba, a los 23,6 s. Mueve la salida solo 0,01 a la derecha, a (0,01, −2), y termina en el imán 3 a los 37,6 s. En la vista inicial, 0,01 es uno o dos píxeles.

Toca el mapa para dibujar la trayectoria real desde cualquier punto. Dentro de una mancha amplia de un solo color puedes mover el inicio y nada cambia. Donde los colores se intercalan en franjas finas, desplazarse un píxel puede cambiar el destino. El conjunto de puntos donde la respuesta cambia es lo que este mapa enseña de verdad.

Experimento 2: menos rozamiento, fronteras más enredadas

Toma 1.001 puntos de partida sobre la recta y = −1,2 entre x = −2 y 2, y cuenta cuántas veces dos vecinos acaban en imanes distintos. Con rozamiento 0,4 hubo 10 cambios; con 0,2 (por defecto), 36; con 0,1, 424; con 0,05, 672. Con menos rozamiento el péndulo pasa más tiempo rebotando entre imanes, y cada pasada da a las pequeñas diferencias otra ocasión de crecer. Con 0,05 la frontera se ha convertido en una banda ancha donde el resultado es, en la práctica, imposible de saber.

Con rozamiento 0,05, 8 de los 1.001 puntos no se habían detenido a los 120 s. Esos se pintan con el tono más oscuro del imán más cercano al final. Algunas manchas oscuras que se ven con rozamiento muy bajo son simplemente puntos que se quedaron sin tiempo.

Experimento 3: número de imanes y gravedad

En la misma recta, cambiando solo el número de imanes, hubo 6 cruces de frontera con dos imanes, 36 con tres, 132 con cuatro y 504 con seis. Con dos imanes el plano queda casi partido en dos con una frontera sencilla; cada imán adicional es otro sitio que visitar y enreda más las trayectorias.

Subir la gravedad (fuerza restauradora) de 0,2 a 1,5 hizo pasar los cruces en esa recta de 24 a 194. Una atracción más fuerte hacia el centro hace que el péndulo cruce el anillo de imanes más veces y más deprisa.

Por qué las fronteras son fractales

El péndulo solo puede terminar en tres sitios: los puntos de reposo sobre los imanes. Cada uno es un atractor, y el conjunto de puntos de partida que lleva a él es su cuenca de atracción. Un punto justo en la frontera entre dos cuencas no va a ninguna: sigue una trayectoria inestable. Si sales cerca de la frontera, el péndulo acompaña esa trayectoria inestable un rato antes de desprenderse, y cuanto más se entretiene, más se amplifica una diferencia minúscula. Al ampliar una frontera aparecen franjas más finas, y dentro de ellas otras aún más finas.

McDonald, Grebogi, Ott y Yorke (1985) mostraron que, cerca de una frontera fractal, si conoces el punto de partida con una precisión ε, la probabilidad de equivocarte en el estado final solo disminuye como ε^α. Si α es menor que 1, medir diez veces mejor reduce los errores menos de diez veces. La lección del mapa es que no hace falta un caos interminable como el del atractor de Lorenz para perder la capacidad de predecir: un péndulo que siempre se detiene sigue sin dejarte saber dónde.

Lo que el modelo simplifica

• La punta se mueve sobre un plano con una fuerza restauradora lineal −k·p, una aproximación de oscilaciones pequeñas. La punta de un péndulo real se mueve sobre una esfera, y la diferencia crece cuanto más lejos se suelta.
• La atracción magnética es una fuerza puntual del inverso del cuadrado suavizada por la altura d. Los imanes reales son dipolos y su fuerza cae más rápido que el cubo de la distancia.
• El rozamiento es un único término lineal proporcional a la velocidad.
• «Detenido» significa a menos de 0,05 de un imán y con velocidad inferior a 0,05. Por encima de una altura de unos 0,37, el punto de equilibrio queda a más de 0,05 del imán (unos 0,07 con altura 0,4 y unos 0,14 con 0,5), así que el péndulo también se da por detenido cuando su velocidad y su aceleración bajan ambas de 0,05, es decir, cuando reposa en un equilibrio; entonces se asigna al imán más cercano. Cerca de una altura de 0,6 los imanes atraen tan poco que algunos puntos se detienen cerca del centro del círculo. Su color es solo el del imán que quedaba un poco más cerca al parar y significa poco.
• El centro exacto (0, 0) es en teoría un punto de equilibrio, pero el redondeo en coma flotante elige un lado y el cálculo termina en el imán 2 a los 65 s aproximadamente.

Ejemplos

Cómo se usa

1. Cambiar rozamiento, gravedad, altura o número de imanes recalcula el mapa. Explora con la resolución rápida y afina con la nítida.
2. Toca el mapa para ver la trayectoria, el imán de llegada y el tiempo que tardó.
3. Arrastra una frontera de colores mezclados al centro y amplía para encontrar franjas más finas.

Preguntas frecuentes

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