Onda de PéndulosBeta

Acerca de Onda de Péndulos

La onda de péndulos es lo contrario del caos. Los péndulos no están unidos entre sí; cada uno oscila con su propio periodo fijo. Aun así producen una secuencia de serpientes que avanzan, figuras de dos y tres filas y momentos de aparente desorden, y luego vuelven a formar una sola línea en un instante exactamente predecible. Lo atractivo del aparato es que cada una de esas figuras se puede calcular de antemano.

Esta herramienta integra cada péndulo por separado con θ'' = −(g/L)·sen θ − c·θ' (RK4 con pasos de 2 ms o menos). No sustituye sen θ por θ, así que una oscilación amplia alarga el periodo como en un péndulo real. Según las notas de las demostraciones de Harvard, su aparato sigue un diseño publicado por Richard Berg, de la Universidad de Maryland, y la idea se remonta a un dispositivo construido por Ernst Mach hacia 1867.

Cómo se eligen las longitudes

Durante el tiempo de realineación T, el péndulo más largo hace k oscilaciones completas, el siguiente k + 1, y así sucesivamente. El aparato de Harvard tiene 15 péndulos, T = 60 s y k = 51, de modo que el más corto hace 65. El péndulo i tiene periodo T/(k + i) y, despejando la fórmula del péndulo simple P = 2π√(L/g), L = g·(P/2π)².

Con g = 9,81, el péndulo de 51 oscilaciones tiene P = 1,176 s y L = 34,39 cm; el de 65, P = 0,923 s y L = 21,17 cm. Los quince caben en unos 13 cm de diferencia. Al activar la corrección por amplitud, las longitudes se recalculan con el periodo exacto a la amplitud de trabajo; a 10°, el más largo baja a 34,26 cm, 1,3 mm menos.

Cuándo aparecen las figuras: T·p/q

En el instante t, el desfase entre dos péndulos vecinos cualesquiera es 2π·t/T, igual para todas las parejas. En t = T/2 es media vuelta, así que los péndulos alternos están en extremos opuestos: dos filas. En T/3 y 2T/3 hay tres filas. En general, si p/q es una fracción irreducible, en t = T·p/q cada péndulo está en una de q fases y se ven q filas. Con los valores de Harvard: dos filas a los 30 s, tres a los 20 y 40 s, cuatro a los 15 y 45 s.

La serpiente que se ve entre figuras aparece cuando el desfase es pequeño, cerca de t = 0 o de t = T: la fase crece suavemente a lo largo de la fila y dibuja una sinusoide de onda larga. En los instantes donde p/q necesita un q grande hay demasiadas filas para distinguirlas y parece desorden. La línea de tiempo de patrones y el reloj de fases muestran exactamente este cálculo.

Qué falla al abrir mucho los péndulos

Con amplitud θ₀ el periodo real es T₀ / AGM(1, cos(θ₀/2)), donde AGM es la media aritmético-geométrica. Es un 0,19 % más largo que el valor de ángulo pequeño a 10°, un 2,38 % a 35° y un 7,3 % a 60°. Calculando el escenario ¿Y si lo abres mucho? (35°, sin corrección) con las mismas ecuaciones, a los 60 s las quince bolas están repartidas entre 14° y −35°.

Lo curioso es que, si todos se sueltan con la misma amplitud, todos se retrasan en la misma proporción, un 2,38 %. La figura no se destruye, solo llega tarde: a los 60 × 1,0238 = 61,43 s los quince vuelven a coincidir exactamente en 35°. La fila parece rota a los 60 s porque el mismo retraso proporcional supone más oscilaciones perdidas para el péndulo que más oscila: el de 51 va 1,2 oscilaciones por detrás y el de 65, 1,5. Esa diferencia es la que cambia el dibujo en el segundo 60. Con longitudes corregidas, la realineación llega justo a los 60 s.

El afinador: por qué importa un milímetro

El periodo va con la raíz cuadrada de la longitud, así que un error relativo de longitud se reduce a la mitad en el periodo. Un error de 1 mm en el péndulo central (58 oscilaciones, L = 26,59 cm) cambia su periodo un 0,19 %. En 58 oscilaciones durante 60 s eso suma 0,11 de oscilación, un desfase de unos 39°, fácil de ver en la fila. El escenario del afinador desajusta tres péndulos al azar para que cada uno haga entre 0,25 y 0,45 oscilaciones de más o de menos en 60 s. Si los buscas de oído, atiende al clic del paso por el centro que se sale del ritmo de los demás.

En otro planeta

Todos los periodos escalan como 1/√g en la misma proporción, así que un aparato ajustado en la Tierra muestra las mismas figuras en el mismo orden en cualquier sitio; solo se estira o encoge el reloj. El tiempo de realineación pasa a ser 60 × √(9,81/g): 147,6 s en la Luna (g = 1,62), 97,6 s en Marte (3,71) y 37,7 s en Júpiter (24,79).

Lo que la simulación deja fuera

Los péndulos son perfectamente independientes. En un aparato real el marco común se flexiona un poco y puede pasar energía de un péndulo a otro. El rozamiento del aire por defecto es un único término lineal con el mismo coeficiente para todos (0,004 por segundo por defecto). Así, cada amplitud decae como e^{−ct/2}, igual en todos (10° bajan a unos 8,9° en 60 s), y las proporciones se mantienen. En la realidad el rozamiento depende de la velocidad de cada bola y de la longitud de cada hilo, las amplitudes decaen a ritmos distintos y, por el periodo dependiente de la amplitud visto antes, la figura se va desdibujando en sesiones largas. Activa «Pesas ligeras: arrastre ∝ velocidad²» en el laboratorio libre para verlo: añade −κ·L·|θ'|·θ' (κ = 0,15 por metro) a la aceleración angular, así que los péndulos largos, cuyas pesas van más rápido, pierden amplitud antes. Soltados a 12°, a los 60 s el más largo queda en unos 4,5° y el más corto en unos 5,1°: su cociente de amplitudes pasa de 1 a cerca de 0,87. Las bolas son masas puntuales y los hilos no se estiran.

Ejemplos

Cómo se usa

1. Elige un escenario: foto de la demo de Harvard, ¿y si lo abres mucho?, el afinador, en otro planeta o laboratorio libre.
2. Consulta en la línea de tiempo el próximo momento de dos o tres filas y espéralo.
3. En el laboratorio libre cambia número de péndulos, T, oscilaciones, amplitud, rozamiento y planeta, y compara con la corrección por amplitud activada y desactivada.

Preguntas frecuentes