진자 파동베타

진자 파동 소개

진자 파동은 카오스와 정반대에 있는 장치다. 진자들은 서로 연결되어 있지 않고, 각자 정해진 주기로 흔들릴 뿐이다. 그런데도 뱀처럼 꿈틀대는 파동, 두 줄·세 줄로 갈라지는 무늬, 뒤죽박죽처럼 보이는 순간이 차례로 나타났다가 정확한 시각에 다시 한 줄로 모인다. 모든 무늬를 미리 계산할 수 있다는 점이 이 장치의 매력이다.

이 도구는 각 진자를 θ'' = −(g/L)·sinθ − c·θ'로 따로 적분한다(2ms 이하 간격의 RK4). sinθ를 θ로 바꾸는 작은 각 근사를 쓰지 않기 때문에, 크게 흔들면 실제 진자처럼 주기가 길어진다. 하버드 강의 시연 장치 설명에 따르면 원형은 에른스트 마흐가 1867년 무렵 만든 장치이고, 하버드 장치는 메릴랜드 대학의 Richard Berg가 발표한 설계를 따랐다.

길이는 어떻게 정하나

재정렬 시간 T 동안 가장 긴 진자가 k번, 그다음 진자가 k+1번, … 왕복하게 만든다. 하버드 장치는 15개, T = 60초, k = 51이라 가장 짧은 진자는 65번 왕복한다. i번째 진자의 주기는 T/(k+i)이고, 단진자 공식 P = 2π√(L/g)을 뒤집으면 L = g·(P/2π)²이다.

g = 9.81에서 51번 진자는 P = 1.176초, L = 34.39cm이고, 65번 진자는 P = 0.923초, L = 21.17cm다. 15개가 13cm 남짓한 범위에 들어간다. 「진폭 보정」을 켜면 실제로 흔들 진폭에서의 정확한 주기로 길이를 다시 맞추는데, 10°에서는 51번 진자가 34.26cm로 1.3mm 짧아진다.

무늬가 생기는 시각: T·p/q

시각 t에서 이웃한 두 진자의 위상 차는 2π·t/T로, 모든 이웃 쌍에서 같다. t = T/2이면 위상 차가 반 바퀴라 진자들이 번갈아 양쪽 끝에 모인 두 줄이 된다. t = T/3과 2T/3이면 세 줄이다. 일반적으로 p/q가 기약분수일 때 t = T·p/q에는 모든 진자가 q개의 위상 중 하나에 모여 q줄이 된다. 하버드 설정이면 두 줄은 30초, 세 줄은 20초와 40초, 네 줄은 15초와 45초다.

무늬 사이에 보이는 뱀 모양 파동은 위상 차가 작을 때(t가 0이나 T 근처일 때) 나타난다. 위상이 진자 번호에 따라 조금씩 늘어나니 옆에서 보면 파장이 긴 사인 곡선이 된다. q가 크고 p/q가 복잡한 시각에는 줄이 너무 많아 뒤죽박죽처럼 보인다. 도구의 무늬 타임라인과 위상 시계가 이 계산을 그대로 보여 준다.

크게 당기면 무엇이 어긋나나

진폭 θ₀에서 실제 주기는 T₀ / AGM(1, cos(θ₀/2))이다(AGM은 산술-기하 평균). 10°에서는 0.19%, 35°에서는 2.38%, 60°에서는 7.3% 길어진다. 「크게 당기면?」 시나리오의 35°, 보정 없음 설정을 같은 방정식으로 계산하면, 60초에 15개가 14°부터 −35°까지 흩어져 있다.

흥미로운 점은 모두 같은 진폭에서 놓았다면 모든 진자가 같은 비율(2.38%)로 느려진다는 것이다. 그래서 무늬는 깨지지 않고 늦게 올 뿐이다. 계산해 보면 60 × 1.0238 = 61.43초에 15개가 다시 정확히 35°에 모인다. 60초에 줄이 흐트러져 보이는 이유는 같은 비율이라도 왕복 횟수가 많은 진자일수록 더 많이 뒤처지기 때문이다. 51번 진자는 1.2번, 65번 진자는 1.5번 왕복만큼 늦어서 그 차이가 60초 순간의 모양을 바꾼다. 보정 길이를 쓰면 60초에 정확히 재정렬된다.

조율사: 1mm가 왜 문제가 되나

주기는 길이의 제곱근에 비례하므로 길이의 상대 오차는 주기에서 절반으로 줄어든다. 가운데 진자(58번 왕복, L = 26.59cm)의 길이가 1mm 틀리면 주기는 0.19% 틀린다. 작아 보이지만 60초 동안 58번 쌓이면 0.11번 왕복, 위상으로 약 39°가 어긋난다. 조율 시나리오는 무작위로 고른 진자 3개를 60초 동안 0.25~0.45번 더 또는 덜 왕복하도록 틀어 놓는다. 소리로 찾을 때는 추가 가운데를 지날 때 나는 음이 다른 진자들의 리듬에서 벗어나는지 들어 보면 된다.

다른 행성에서

모든 주기가 1/√g에 비례해 같은 비율로 변하므로, 지구에서 맞춘 장치를 다른 행성에 가져가도 무늬의 순서와 모양은 같고 시간만 늘거나 준다. 재정렬 시간은 60 × √(9.81/g)이다. 달(1.62)에서 147.6초, 화성(3.71)에서 97.6초, 목성(24.79)에서 37.7초다.

이 시뮬레이션이 단순화한 것

진자들은 완전히 독립이다. 실제 장치에서는 공통 틀이 조금씩 흔들리며 진자끼리 에너지를 주고받을 수 있다. 기본 공기 저항은 속도에 비례하는 선형 감쇠 하나이고 모든 진자에 같은 계수(기본 0.004/s)가 들어간다. 이 경우 진폭은 모든 진자에서 e^{−ct/2}로 똑같이 줄어(60초 뒤 10° → 약 8.9°) 비율이 유지된다. 실제로는 추의 속도와 줄 길이에 따라 저항이 달라 진자마다 진폭이 다르게 줄고, 앞 절에서 본 진폭 의존 주기 때문에 긴 시간 뒤에는 무늬가 조금씩 흐려진다. 자유 실험의 「가벼운 추: 속도² 공기 저항」을 켜면 이 효과를 볼 수 있다. 각가속도에 −κ·L·|θ'|·θ'(κ = 0.15/m)가 더해져, 추가 더 빨리 움직이는 긴 진자일수록 빨리 줄어든다. 12°로 놓으면 60초 뒤 가장 긴 진자는 약 4.5°, 가장 짧은 진자는 약 5.1°로 진폭비가 1에서 약 0.87로 벌어진다. 추는 점 질량이고 줄은 늘어나지 않는다.

예시

사용 방법

1. 시나리오(하버드 시연 촬영·크게 당기면?·조율사·다른 행성에서·자유 실험)를 고른다.
2. 무늬 타임라인에서 다음 두 줄·세 줄 시각을 확인하고 그 순간을 지켜본다.
3. 자유 실험에서 진자 수·T·왕복 횟수·진폭·공기 저항·행성을 바꾸고, 진폭 보정을 켜고 끄며 비교한다.

자주 묻는 질문