맥스웰의 도깨비베타

맥스웰의 도깨비 소개

상자 가운데 칸막이에 문이 하나 있고, 양쪽에 300K 기체가 절반씩 들어 있다. 분자는 서로, 그리고 벽과 완전 탄성 충돌하므로 전체 에너지는 절대 변하지 않는다. 문을 여닫는 데도 에너지가 들지 않는다. 그런데 빠른 분자만 오른쪽으로 들여보내면 오른쪽은 뜨거워지고 왼쪽은 식는다. 1867년 맥스웰이 편지에서 제안한 이 사고실험은 열역학 제2법칙을 정면으로 거스르는 것처럼 보인다.

도구는 세 가지 도깨비를 비교하게 해 준다. 내가 직접 문을 여는 경우, 분자를 모두 보고 판단하는 완벽한 도깨비, 아무것도 보지 않고 0.12초마다 동전을 던져 문을 여닫는 눈 감은 도깨비다. 90초 안에 오른쪽 온도를 왼쪽의 1.5배로 만들거나(온도 가르기), 분자의 75%를 오른쪽에 모으면(한쪽에 몰기) 성공이다.

완벽한 도깨비는 무엇을 보고 판단하는가

완벽한 도깨비는 앞으로 0.08초 안에 문에 닿을 분자를 모두 살핀다. 온도 가르기라면 기준 속력은 처음 온도의 평균 속력 125px/s다. 왼쪽에서 오는 분자는 이보다 빨라야, 오른쪽에서 오는 분자는 이보다 느려야 통과시킨다. 조건에 어긋나는 분자가 하나라도 오고 있으면 문을 닫는다. 한쪽에 몰기에서는 왼쪽에서 오는 분자는 모두 통과, 오른쪽에서 오는 분자는 모두 차단이다.

2차원 맥스웰-볼츠만 분포에서 평균 속력보다 빠른 분자의 비율은 exp(−π/4) ≈ 45.6%다. 즉 왼쪽에서 문으로 오는 분자 중 절반 가까이는 통과 자격이 있다. 반면 눈 감은 도깨비는 분자의 속력과 무관하게 문을 여닫으므로, 빠른 분자와 느린 분자가 같은 비율로 섞여 넘어가 온도차가 생기지 않는다. 두 도깨비가 문을 여닫는 횟수는 비슷할 수 있지만 결과는 전혀 다르다. 차이는 오로지 정보다.

실라르드의 한 분자 엔진

1929년 레오 실라르드는 문제를 극단까지 줄였다. 상자에 분자가 하나뿐이고, 가운데 칸막이를 넣은 뒤 분자가 왼쪽에 있는지 오른쪽에 있는지 1비트를 알아낸다. 그 쪽을 피스톤으로 삼아 등온 팽창시키면 주변 열에서 kT·ln2만큼 일을 뽑을 수 있다. 1비트의 정보가 kT·ln2의 일로 바뀌는 셈이다. 실라르드는 이 이득을 상쇄하려면 측정 자체에 최소 그만큼의 엔트로피 비용이 들어야 한다고 보았다.

비용은 측정이 아니라 지우기에 있다: 란다우어와 베넷

1961년 롤프 란다우어는 계산에서 되돌릴 수 없는 연산, 예컨대 1비트를 0으로 초기화하는 일에는 비트당 최소 kT·ln2의 열이 나온다는 것을 보였다. 300K에서 kT·ln2 = 1.38×10⁻²³ × 300 × 0.693 ≈ 2.9×10⁻²¹J, 약 0.018eV다.

1982년 찰스 베넷은 이것으로 도깨비 문제를 정리했다. 측정은 원리상 가역적으로 할 수 있다. 하지만 도깨비의 기억 용량은 유한하므로 계속 일하려면 예전 기록을 지워야 하고, 그 지우기가 란다우어 비용을 치른다. 기체가 얻은 엔트로피 감소는 적어도 그만큼의 엔트로피 증가로 메워진다. 2012년 베뤼 등은 이중 우물 속 콜로이드 입자 하나로 1비트를 지우는 실험을 해, 천천히 지울수록 방출열이 kT·ln2에 다가간다는 것을 측정했다.

장부 막대가 계산하는 것

도구는 기체를 2차원 이상기체로 보고 엔트로피를 S/k = Σ N·[ln((A − N·πr²)/N) + ln kT]로 계산한다. A − N·πr²는 칸 넓이에서 분자(반지름 r = 4px) 자체가 차지하는 넓이를 뺀 가용 넓이다. 2차원에서는 비열이 분자당 k이므로 ln T 앞의 계수가 1이다. 처음(양쪽에 절반, 같은 온도)과 지금을 비교한 차이가 「기체가 얻은 질서」다. 도깨비 쪽 비용은 비트 수 × ln2다. 완벽한 도깨비는 문 앞 시야(0.08초 안에 문틈에 닿을 분자)에 새 분자가 들어올 때마다 「보낼까 말까」를 1비트 기록한다. 직접 조작할 때는 눈으로 본 것을 셀 수 없으므로 문 상태를 바꾼 횟수를 하한으로 쓰고 「≥」를 붙인다. 눈 감은 도깨비는 동전을 던질 때마다 1비트다.

이 비트 계산도 교육용 근사다. 640×420px 화면에서 완벽한 도깨비가 온도 가르기를 끝낼 때 살펴본 분자는 약 250~290개로, 문을 여닫은 횟수(130~160번)의 두 배 가까이 된다. 문을 열지 않고 돌려보낸 분자도 측정했기 때문이다. 그래도 분자 하나당 1비트는 「빠른가 느린가」만 적은 최소량이고, 실제 도깨비라면 위치와 속도를 더 정밀하게 재야 한다. 눈 감은 도깨비의 동전 결과는 기체에 관한 정보는 아니지만 역시 지워야 하는 기록이라 비용으로 친다. 그래서 아무것도 얻지 못하면서 비용만 쌓인다.

예시

사용 방법

1. 목표(온도 가르기 또는 한쪽에 몰기)와 문을 여는 사람을 고른다.
2. 시작을 누르고, 직접 모드라면 캔버스나 스페이스바를 누르고 있는 동안 문이 열린다.
3. 양쪽 온도와 분자 수, 기록한 비트, 장부 막대를 지켜본다.
4. 같은 목표로 세 가지 도깨비를 번갈아 돌려 결과를 비교한다.

자주 묻는 질문

참고

엔트로피 계산은 이상기체 공식에 분자 자체 넓이만 빼는 배제 면적 보정(가용 넓이 = 칸 넓이 − N·πr²)을 더한 것이다. 분자를 원판으로 다루는 1차 보정이라, 분자가 아주 빽빽해지면(한쪽에 1,000개 넘게 몰리는 경우) 실제 원판 기체의 엔트로피와는 여전히 차이가 난다.

비트 수는 완벽한 도깨비에게는 살펴본 분자 수(분자당 1비트), 직접 조작에서는 문 상태가 바뀐 횟수(하한, ≥ 표시)다. 어느 쪽이든 실제 도깨비가 다룰 정보량의 하한에 가깝다.