기체 분자 운동 시뮬레이터베타

기체 분자 운동 시뮬레이터 소개

화면의 점들은 질량이 같은 강체 원판이다. 원판끼리, 그리고 벽과 완전 탄성 충돌만 하고 다른 힘은 없다. 시작할 때 모든 분자는 같은 속력 √(2kT)로 방향만 무작위로 출발한다. 그래서 첫 순간의 히스토그램은 막대 하나뿐이고, 충돌이 쌓이면서 오른쪽 그래프의 맥스웰-볼츠만 곡선으로 퍼진다. 에너지는 처음부터 끝까지 보존되므로, 이 변화는 에너지가 새로 들어와서가 아니라 같은 에너지가 분자 사이에 다시 나뉘어서 생긴다.

이 시뮬레이션은 2차원이다. 3차원 교과서 공식과 계수가 다르므로 아래 숫자는 모두 2차원 기준으로 쓴다. 온도는 화면용 K 단위로 표시되지만 내부에서는 300K를 kT = 10,000 px²/s²에 대응시킨 임의 단위다.

2차원 맥스웰-볼츠만 분포와 세 가지 속력

속도의 x, y 성분이 각각 분산 kT/m인 정규분포를 따르면 속력 v의 분포는 f(v) = (mv/kT)·exp(−mv²/2kT)가 된다. 3차원에서는 앞에 v²가 붙지만 2차원에서는 v 하나다. 이 곡선에서 세 가지 대표 속력이 나온다. 최빈 속력 √(kT/m), 평균 속력 √(πkT/2m), 제곱평균제곱근 속력 √(2kT/m). 그래프의 점선 세 개가 이 순서로 서 있다.

300K(kT = 10,000)에서 이 값은 100, 125.3, 141.4 px/s다. 비율 1 : 1.253 : 1.414는 온도와 상관없이 일정하다. 분포의 모양은 그대로이고 가로축 눈금만 √T에 비례해 늘어나기 때문이다. 처음 출발 속력 √(2kT)는 정확히 제곱평균제곱근 속력과 같다. 즉 처음 상태와 평형 상태의 평균 운동에너지는 같고, 달라진 것은 분포뿐이다.

등분배 정리: 온도는 무엇을 재는가

고전 통계역학에서는 에너지에 제곱으로 들어가는 자유도 하나마다 평균 ½kT가 돌아간다. 원판은 x, y 두 방향으로 움직이므로 분자당 평균 운동에너지는 kT다(3차원 단원자 기체라면 3/2 kT). 이 시뮬레이션의 「측정 온도」는 바로 이 관계를 거꾸로 써서 계산한다. 모든 분자의 ½v²를 평균한 값이 kT다.

원판은 회전하지 않도록 만들어졌다. 실제 이원자 분자(N₂, O₂)는 회전 자유도 2개가 더 있어 같은 온도에서 더 많은 에너지를 품는데, 이 모형에는 그 부분이 없다.

관찰 실험 1: 막대 하나가 곡선이 되기까지

기본값(2,500개, 반지름 2.5px)에서 「처음부터」를 누르고 히스토그램을 본다. 141px/s 근처에 솟은 막대가 몇 초 안에 무너지며 낮은 속력 쪽과 높은 속력 쪽으로 동시에 퍼진다. 두 분자가 부딪히면 한쪽은 빨라지고 한쪽은 느려지기 때문이다. 분자 수를 500개로 줄이면 충돌 빈도가 떨어져 이완이 눈에 띄게 느려지고, 히스토그램도 더 들쭉날쭉하다. 표본이 적으면 통계적 요동이 1/√N 정도로 커진다.

재생 속도를 낮추고 캔버스를 눌러 한 분자를 추적하면, 그 경로가 짧은 직선 조각이 제멋대로 꺾인 무작위 걸음이 된다. 기체 속의 먼지 입자가 보이는 브라운 운동과 같은 구조다.

관찰 실험 2: PA/NkT가 1에서 벗어나는 이유

이상기체라면 벽이 받는 압력 P와 넓이 A 사이에 PA = NkT가 성립한다. 도구는 벽에 전달된 운동량으로 P를 재서 이 비율을 보여 준다. 그런데 원판에는 크기가 있어, 다른 원판이 차지한 자리에는 들어갈 수 없다. 분자가 실제로 쓸 수 있는 넓이가 줄어드니 벽을 더 자주 때리고 비율이 1보다 커진다.

원판이 차지하는 넓이 비율(충전율) η = Nπr²/A로 어림할 수 있다. 800×580px 캔버스에서 기본값이면 η ≈ 2,500 × 19.6 ÷ 464,000 ≈ 0.11이다. 강체 원판 기체의 근사식 Z = (1 + η²/8)/(1 − η)²에 넣으면 약 1.25가 나온다. 반지름을 1.5px로 줄이면 η ≈ 0.04, Z ≈ 1.08로 이상기체에 가까워진다. 캔버스 크기는 화면마다 다르므로 자기 화면의 가로세로로 계산해 비교해 보면 된다. 도구는 η가 0.7을 넘는 조합(예: 반지름 8px × 8,000개)은 들어가는 만큼만 넣고 안내 문구를 띄운다. 그보다 빽빽하면 원판이 서로 겹쳐 충돌 대신 위치 보정이 압력을 만들어 PA/NkT가 의미를 잃기 때문이다. 0.7 근처에서 Henderson 식은 실제보다 크게 나오며(약 17), 시뮬레이션 값은 9 안팎이다.

실제 공기 분자로 바꾸면

3차원에서는 최빈 속력 √(2kT/m), 평균 √(8kT/πm), 제곱평균제곱근 √(3kT/m)이다. 질소(N₂, 분자량 28, 분자 하나 4.65×10⁻²⁶kg)를 300K에 두면 kT = 4.14×10⁻²¹J이고, 각각 약 422, 476, 517m/s다. 소리의 속력(약 350m/s)보다 빠르다. 기체 분자가 이렇게 빠른데도 향수 냄새가 천천히 퍼지는 것은, 상온 대기압에서 분자가 수십 나노미터마다 충돌해 방향이 바뀌기 때문이다. 추적 모드에서 본 꺾인 경로가 그 모습이다.

예시

사용 방법

1. 「처음부터」를 눌러 모든 분자가 같은 속력으로 출발하게 한다.
2. 히스토그램 막대가 이론 곡선에 겹쳐지는 과정을 지켜본다.
3. 온도, 분자 수, 반지름을 바꾸며 세 속력 점선과 PA/NkT 값을 비교한다.
4. 캔버스를 눌러 분자 하나의 경로를 추적한다.

자주 묻는 질문

참고

근사식 Z = (1 + η²/8)/(1 − η)²는 강체 원판 기체의 경험적 상태방정식(Henderson 근사)으로, 충전율이 낮을수록 정확하다.

분자는 회전하지 않고 분자 사이 인력도 없다. 액화나 반데르발스 기체 효과는 나타나지 않는다.