갈릴레이 대포베타

갈릴레이 대포 소개

농구공 위에 테니스공을 얹어 함께 떨어뜨리면 테니스공이 혼자 떨어뜨렸을 때보다 몇 배 높이 튀어 오른다. 이 도구는 그 실험을 1차원으로 계산한다. 공들은 한 줄로 쌓여 곧게 떨어지고, 바닥과 공, 공과 공이 닿는 순간은 아주 짧은 시간(2밀리초) 동안 눌렸다 펴지는 용수철과 감쇠기로 다룬다. 용수철 세기와 감쇠는 공마다 정한 반발계수가 정확히 나오도록 맞춘다.

공의 질량과 지름은 규격값에 가깝게 넣었다(농구공 620 g, 테니스공 58 g, 탁구공 2.7 g 등). 반발계수는 딱딱한 바닥에 떨어뜨린 높이와 튀어 오른 높이 비의 제곱근으로 잡은 대략값이라, 공의 상태나 바닥에 따라 실제와 다를 수 있다.

3v와 9배: 이상화된 계산

높이 h에서 떨어진 두 공이 바닥 직전 속력 v로 내려온다고 하자. 아래 공이 바닥에서 먼저 튀어 v로 올라가고, 그 순간 위 공은 아직 v로 내려오고 있다. 아래 공이 위 공보다 훨씬 무겁다면 아래 공의 입장에서 위 공은 2v로 다가오고, 탄성 충돌 뒤 2v로 되튕긴다. 땅에서 보면 여기에 아래 공의 속도 v를 더해 3v가 된다. 튀어 오르는 높이는 속력의 제곱에 비례하므로 9배다.

질량비가 유한하면 완전 탄성일 때 위 공의 속력은 v × (3m아래 − m위)/(m아래 + m위)이다. 농구공과 테니스공은 질량비가 약 10.7이어서 이 식은 2.66v를 준다. 3v에 한참 못 미친다. 질량비가 딱 3이면 아래 공은 그 자리에 멈추고 위 공이 2v로 올라가 높이가 4배가 된다. 에너지를 남김없이 넘겨주는 조건이다.

공을 더 쌓으면 이상적인 한계는 1, 3, 7, 15v로 커진다(2ⁿ − 1). 세 개면 속력 7배, 높이 49배다. Harter(1971)는 공에 펜을 꽂아 떨어뜨리는 실험으로 이 효과를 재고, 공이 동시에 닿는 경우까지 포함한 더 정교한 모형과 비교했다.

실제로 덜 올라가는 세 가지 이유

• 반발계수: 테니스공(0.75)과 농구공(0.84)이 찌그러졌다 펴지며 에너지를 잃는다. 농구공+테니스공을 1 m에서 떨어뜨리면 이론 패널은 공기저항 없이 8.94 m/s(떨어진 속력의 2.02배), 테니스공 바닥 기준 최고점 4.31 m를 준다. 완전 탄성 옵션을 켜면 11.77 m/s, 7.30 m가 된다.
• 공기저항: 가벼운 공일수록 크게 받는다. 이 도구는 항력계수 0.47, 공기 밀도 1.2 kg/m³로 계산한다. 이 값이면 탁구공의 종단 속도는 약 8.7 m/s라서, 18 m/s로 튀어 나간 탁구공은 금세 느려진다.
• 충돌 순서: 이론은 바닥-아래 공, 아래 공-위 공 충돌이 차례로 한 번씩 일어난다고 가정한다. 공이 서로 붙어 있으면 접촉이 겹쳐 일어나고, 결과가 이론과 달라진다. 「공 사이 간격」을 벌리면 충돌이 순서대로 일어나 이론에 가까워진다.

공을 고르는 요령

위로 갈수록 공이 앞의 공보다 훨씬 가벼워야 한다. 농구공-테니스공-탁구공은 1 m에서 이론상 4.23배(18.2 m)지만, 농구공-테니스공-탱탱볼은 2.84배밖에 안 된다. 탱탱볼(25 g)이 테니스공(58 g)의 절반 가까이 되어 둘째 충돌에서 속도가 별로 늘지 않기 때문이다.

순서를 뒤집어 가벼운 공을 아래에 두면 증폭은 사라진다. 테니스공 위에 농구공을 얹으면 테니스공이 무거운 공에 눌려 되튀지 못하고, 이론 속력이 음수(위 공이 계속 아래로 움직임)가 된다.

예시

사용 방법

1. 시나리오(농구공 + 테니스공, 3층 창문, 기록 도전, 자유 실험)를 고른다.
2. 쟁반에서 공을 골라 쌓고 떨어뜨리는 높이를 정한다.
3. 필요하면 공 사이 간격, 공기저항, 완전 탄성을 바꾼 뒤 떨어뜨린다.
4. 맨 위 공의 최고점을 이론 예측과 비교한다.

자주 묻는 질문