ガリレオの大砲ベータ

ガリレオの大砲について

バスケットボールの上にテニスボールを載せて一緒に落とすと、テニスボールは単独で落としたときの何倍も高く跳ね上がる。このツールはその実験を1次元で計算する。ボールは縦一列に積まれてまっすぐ落ち、床とボール、ボールどうしが触れる瞬間は約2ミリ秒の間に縮んで戻るばねとダンパーとして扱う。ばねの強さと減衰は、組ごとに決めた反発係数がぴったり出るように合わせてある。

質量と直径は規格値に近い(バスケットボール620 g、テニスボール58 g、卓球ボール2.7 gなど)。反発係数は硬い床に落としたときの「跳ね返った高さ÷落とした高さ」の平方根から取った概算で、ボールの状態や床によって実際とは違う。

3vと9倍という理想化

2つのボールが床の直前で速さvになっているとする。下のボールが先に床で跳ね、vで上がり始める。その瞬間、上のボールはまだvで落ちてくる。下のボールが十分重ければ、下のボールから見て上のボールは2vで近づき、弾性衝突の後2vで跳ね返る。地面から見ると下のボールの速さvが加わって3vになる。跳ね上がる高さは速さの2乗に比例するので9倍だ。

質量比が有限で完全弾性なら、上のボールの速さは v ×(3m下 − m上)/(m下 + m上)になる。バスケットボールとテニスボールは質量比が約10.7なので2.66vで、3vにはかなり届かない。質量比がちょうど3なら下のボールはその場で止まり、上のボールが2vで上がって高さは4倍になる。エネルギーを残らず渡す条件である。

ボールを増やすと理想的な上限は1、3、7、15v(2ⁿ − 1)と伸びる。3個なら速さ7倍、高さ49倍だ。Harter(1971)はボールにペンを刺して落とす実験でこの効果を測り、接触が時間的に重なる場合まで含めた詳しいモデルと比べている。

実際には低くなる3つの理由

• 反発係数:テニスボール(0.75)とバスケットボール(0.84)は、つぶれて戻るたびにエネルギーを失う。バスケットボール+テニスボールを1 mから落とすと、理論パネル(空気抵抗なし)は8.94 m/s(落下速度の2.02倍)、テニスボールの下端で最高点4.31 mを示す。「完全弾性」をオンにすると11.77 m/s、7.30 mになる。
• 空気抵抗:軽いボールほど大きく効く。このツールは抗力係数0.47、空気密度1.2 kg/m³で計算する。この値だと卓球ボールの終端速度は約8.7 m/sしかなく、18 m/sで飛び出した卓球ボールはすぐに減速する。
• 衝突の順序:理論は「床と下のボール」「下のボールと上のボール」の衝突が1回ずつ順番に起きると仮定する。ボールがくっついていると接触が重なって起き、結果が理論からずれる。「ボールの間隔」を広げると衝突が順番どおりになり、理論に近づく。

ボールの選び方

上にいくほど、すぐ下のボールよりずっと軽くする。バスケットボール‐テニスボール‐卓球ボールは1 mから理論上4.23倍(最高点18.2 m)だが、バスケットボール‐テニスボール‐スーパーボールは2.84倍にとどまる。スーパーボール(25 g)がテニスボール(58 g)の半分近くあり、2回目の衝突で速さがあまり増えないためだ。

順番を逆にして軽いボールを下に置くと増幅は消える。テニスボールの上にバスケットボールを載せると、テニスボールは重いボールを押し返せず、上のボールの理論速度は負(下向きに動き続ける)になる。

例

使い方

1. シナリオ(バスケットボール+テニスボール、3階の窓、記録挑戦、自由実験)を選ぶ。
2. トレイからボールを選んで積み、落とす高さを決める。
3. 必要ならボールの間隔・空気抵抗・完全弾性を変えてから落とす。
4. 一番上のボールの最高点を理論予測と比べる。

よくある質問