マグヌス効果ベータ

マグヌス効果について

このツールはボールを1つの点とみなし、運動方程式を4次のルンゲ=クッタ法で0.5ms以下の刻みで積分している。働く力は3つ。重力、空気に対する相対速度と逆向きの抗力 ½ρC_D·A·v²、そして速度の向きを回転の側へ90°回した方向のマグヌス力 ½ρC_L·A·v²。ボールまわりの空気の流れそのものは計算しない。力の大きさは風洞で測られるような係数を式に入れて求める。

軌道は1つの鉛直面の中だけで動く。回転軸は画面に垂直なので、バックスピンはボールを浮かせ、トップスピンは落とす。実際の投手のカーブは横にも曲がるが、ここで見えるのは上下の成分だけだ。

回転するボールが押される理由

バックスピンで飛ぶボールの上面は向かってくる空気と同じ向きに、下面は逆向きに動く。境界層は上面でより長く張り付いてから下寄りの後方ではがれ、後流は下へ曲げられる。空気を下へ押したのだから、反作用でボールは上へ押される。これがマグヌス力だ。

理想流体の理論では同じ現象を循環Γで説明する。回転する円柱のまわりを回る流れが一様な風に加わると、片側は速く反対側は遅くなり、単位長さあたりの揚力はクッタ=ジューコフスキーの定理 L′ = ρ·U·Γ になる。ただしこの式は粘性とはく離を無視しているので、実際のボールでは理論値よりずっと小さい力しか出ない。

このツールの揚力係数モデル

マグヌス力の大きさはスピンパラメータ S = ωr/v、つまり回転による表面速度と飛行速度の比で決まる。ツールは C_L = k × min(0.35, 1.5·S) を使う。Sが小さいうちは比例し、約0.23を超えると0.35で頭打ちになる。kは表面による倍率で、野球ボール・サッカーボール1.0、テニスボール1.1、卓球ボール1.2、ディンプルのあるゴルフボール1.3。

ネイサン(2008)はピッチングマシンで野球ボールを50〜110mph、1,500〜4,500rpm(S 0.09〜0.6)で打ち出してC_Lを測り、同じSなら速さにあまり依存しないと報告した。ツールの「Sとともに増えて飽和する」形はこうした測定の傾向を単純化したもので、ボールごとの正確な曲線に合わせたものではない。回転はボールごとの時定数(野球20秒、卓球4秒)で指数的に減る。

空気を消すと何がなくなるか

自由実験で空気をオフにすると、抗力とマグヌス力が同時にゼロになる。どれだけ回転をかけても、回転ボールと無回転ボールの軌道が重なる。マグヌス力はボール自体の性質ではなく、ボールと空気の相互作用だということだ。真空中の飛距離は v²·sin2θ/g と一致する。

船、飛行機、そしてボール

同じ原理で帆の代わりに回転円筒を立てた船がある。1920年代、ドイツのアントン・フレットナーは帆船ブッカウ号に電動モーターで回す円筒を2本立て、この装置はいまもフレットナー・ローターと呼ばれる。2008年には風車メーカーのエネルコンが、高さ25m・直径4mのローター4本を備えた貨物船E-Ship 1を進水させた。風が回転円筒を横切ると風と直角向きのマグヌス力が生じ、船はそれを推進力に使う。

例

使い方

1. シナリオを選び、速さ・打ち出し角・回転をスライダーか画面のドラッグで決める。
2. 投げたあと、薄い色の無回転ボールと比べて回転がつくった差を見る。
3. スピンパラメータと「重力に対するマグヌス力の%」の表示を見ながら回転を調整する。

よくある質問