レンズ光線追跡ベータ

レンズ光線追跡について

このツールは薄レンズの公式に数値を入れるだけではありません。レンズを実際の球面2枚で作り、光線1本ごとに前面と後面でスネルの法則に従って曲がる向きを計算します。そのため公式が示す像の位置と、実際に光線が集まる位置が少しずれ、その差がレンズの収差として目に見えます。長さの単位はcmです。

レンズの形はレンズメーカーの式で決めています。前後の曲率半径が等しい両凸レンズで厚さを無視できれば 1/f = (n − 1)·2/R なので R = 2(n − 1)f。ツールは中心厚dまで含めた厚レンズの式 1/f = (n − 1)(2/R − (n − 1)d/(nR²)) を解いてRを決めるため、近軸の焦点距離がスライダーのfと正確に一致します。既定のf = 20cm、n = 1.52、口径半径3cmならR ≈ 20.7cm(薄レンズ近似では20.8cm)、厚さ約0.69cmです。fを負にするとRも負になり、中央が薄い凹レンズが描かれます。

1/a + 1/b = 1/f と符号の決め方

このツールでは物体距離aをレンズの左側に測った正の値とし、像距離bが正ならレンズ右側の実像、負なら物体と同じ側の虚像と読みます。倍率はm = −b/aで、負なら倒立像です。日本の高校物理の教科書で一般的な、実像を正とする決め方と同じです(教科書では倍率を大きさだけで扱うことも多いです)。

英国の教科書や大学の光学では、デカルト符号規約がよく使われます。すべての距離をレンズから光の進む向きに測るので、左側にある実物体の距離は負になり、式は 1/v − 1/u = 1/f になります。u = −a、v = bを代入すれば同じ式です。ネットで見つけた解答と符号だけが合わないときは、たいていこの違いです。レンズが2枚以上になると、前のレンズの像を次のレンズの物体として符号を付け替えずに使えるので、デカルト規約のほうが間違いにくくなります。

焦点から測った距離を使うと式はさらに短くなります。物体が前側焦点からx、像が後側焦点からx′離れていれば x·x′ = f²(ニュートンの式)。物体が焦点に近づくほど像が遠くへ逃げる理由が一目でわかります。

公式と光線がずれるところ:球面収差

薄レンズの公式は光軸に近い光線にしか成り立ちません。球面は縁に行くほど屈折が強すぎ、周辺の光線は中心の光線よりレンズ寄りで光軸を横切ります。ツールと同じ形(f = 20cm、n = 1.52、両面R ≈ 20.7cm)で平行光を追跡すると、口径半径3cmでは軸付近の光線がレンズ中心から約20.1cm、高さ3cmの光線は約19.4cmで軸を横切ります。口径を6cmに広げると(R ≈ 20.4cm)、高さ5cmの光線は約18.2cmまで手前に寄ります。

軸付近の光線が20cmではなく20.1cmに集まるのは、焦点距離の誤差ではありません。ツールはレンズを厚さゼロの板ではなく、中心厚が(2 × サグ + 0.25cm)の実物として描きます。厚レンズでは距離をレンズ中心ではなく主平面から測り、対称レンズの二つの主平面は中心から前後にδ(ここでは約0.12cm)ずつ離れています。焦点は後側主平面からちょうどf = 20cm後ろ、つまり中心から20.12cmです。画面の「公式が示す位置」も光線束モードではこの主平面を基準に計算するので、口径を絞れば追跡した焦点とほぼ一致し(口径0.3cmで差は約0.02cm)、残る差は球面収差だけです。画面のF印も同じ位置に打たれます。作図光線モードは厚さゼロの理想レンズなので中心から測ります。

カメラのシナリオで口径スライダーを絞るとスクリーン上のぼけが小さくなるのはこのためです。絞ると周辺光線が遮られて球面収差が減り、被写界深度も深くなりますが、光量が減って暗くなります。F値 = f/D(Dは口径の直径)がこのバランスを表す数字です。

このツールにない収差

屈折率nは一つの値に固定されているので色収差はありません。実際のガラスは青い光で屈折率が大きく、青がレンズ寄りに集まります。分散の異なるクラウンガラスとフリントガラスを貼り合わせた色消しレンズが、18世紀半ばからこの問題を小さくしてきました。また光線は光軸を含む一つの平面内でしか追跡しないので、コマ収差、非点収差、歪曲のように軸外の3次元の光線で現れる収差も表示されません。

シナリオごとに公式がしていること

虫眼鏡は物体を焦点の内側に置いてbが負の正立虚像を作ります。プロジェクターは物体を焦点のすぐ外に置き、遠くに大きな倒立実像を結びます。望遠のシナリオでは、fを大きくするほど像が大きくなる代わりにレンズをセンサーからおよそf離す必要があり、鏡筒が長くなることがわかります。望遠鏡のシナリオは対物レンズ(f₁ = 40cm)と接眼レンズ(f₂)の焦点を重ね、出ていく光を再び平行にするケプラー式です。角倍率は−f₁/f₂で、負は像が倒立して見えることを意味します。

例

使い方

1. カメラ、虫眼鏡、望遠鏡などのシナリオを選ぶ。
2. スライダーでレンズや物体の位置、焦点距離、口径を変える。
3. 光線束と作図用の3本の光線を切り替え、公式の位置と実際の光線の交点を比べる。
4. 自由実験で屈折率や凹レンズ(負のf)を試す。

よくある質問