Trazado de rayos en lentesBeta

Acerca de Trazado de rayos en lentes

Esta herramienta no se limita a meter números en la ecuación de la lente delgada. Cada lente se construye con dos superficies esféricas reales y cada rayo se desvía en la cara anterior y en la posterior según la ley de Snell. Por eso la imagen que predice la fórmula y el punto donde los rayos se cruzan de verdad no coinciden del todo, y esa diferencia es la aberración hecha visible. Las longitudes están en centímetros.

La forma de la lente sale de la ecuación del fabricante de lentes. En una lente biconvexa simétrica, con el mismo radio en ambas caras, si fuera muy delgada valdría 1/f = (n − 1)·2/R, así que R = 2(n − 1)f. La herramienta resuelve además la ecuación de lente gruesa 1/f = (n − 1)(2/R − (n − 1)d/(nR²)), que incluye el espesor central d, de modo que la focal paraxial coincide exactamente con la f del control. Con los valores por defecto, f = 20 cm, n = 1,52 y radio de apertura de 3 cm, R ≈ 20,7 cm (20,8 cm en la aproximación delgada) y el espesor es de unos 0,69 cm. Una f negativa da un R negativo y la herramienta dibuja una lente cóncava, más delgada en el centro.

1/a + 1/b = 1/f y los convenios de signos

La herramienta mide la distancia al objeto a como un número positivo hacia la izquierda de la lente. Una distancia imagen b positiva indica una imagen real a la derecha; una b negativa, una imagen virtual del mismo lado que el objeto. El aumento es m = −b/a, y un valor negativo significa que la imagen está invertida. Es el convenio de «lo real es positivo» que usan muchos manuales introductorios.

Muchos libros de bachillerato en España y cursos universitarios de óptica usan en cambio el convenio de signos cartesiano (normas DIN): todas las distancias se miden desde la lente en el sentido en que viaja la luz, de modo que un objeto real a la izquierda tiene distancia negativa y la ecuación queda 1/s′ − 1/s = 1/f′. Sustituyendo s = −a y s′ = b se obtiene la misma ecuación. Si una solución que encontraste en internet solo difiere de la tuya en el signo, casi siempre es por esto. Con dos o más lentes el convenio cartesiano ayuda a no equivocarse, porque la imagen de una lente pasa a ser el objeto de la siguiente sin cambiar signos.

Si se mide desde los focos, la ecuación es aún más corta. Con el objeto a una distancia x del foco anterior y la imagen a x′ del foco posterior, x·x′ = f² (forma de Newton). Muestra de un vistazo por qué la imagen se aleja a toda prisa cuando el objeto se acerca al foco.

Donde rayos y fórmula no coinciden: aberración esférica

La ecuación de la lente delgada solo vale para rayos cercanos al eje. Una superficie esférica desvía de más los rayos que pasan cerca del borde, así que los rayos marginales cruzan el eje más cerca de la lente que los centrales. Trazando luz paralela a través de la misma forma que usa la herramienta (f = 20 cm, n = 1,52, R ≈ 20,7 cm en ambas caras) con un radio de apertura de 3 cm, los rayos próximos al eje cruzan a unos 20,1 cm del centro de la lente y los que entran a 3 cm de altura, a unos 19,4 cm. Con una apertura de 6 cm (R ≈ 20,4 cm), un rayo a 5 cm de altura se adelanta hasta unos 18,2 cm.

Que los rayos próximos al eje se junten a 20,1 cm y no a 20 no es un error de focal. La herramienta dibuja la lente con un espesor central real (dos veces la sagita más 0,25 cm), no como una lámina de grosor cero. En una lente gruesa las distancias se miden desde los planos principales y no desde el centro, y en una lente simétrica esos dos planos quedan a una distancia δ por delante y por detrás del centro (unos 0,12 cm aquí). El foco está exactamente f = 20 cm detrás del plano principal posterior, es decir, a 20,12 cm del centro. En el modo de haz, la posición «donde la fórmula la sitúa» también se mide desde los planos principales, así que con una apertura estrecha coincide casi exactamente con el foco trazado (unos 0,02 cm de diferencia con 0,3 cm de apertura) y lo que queda es aberración esférica. Las marcas F de la pantalla están en esos mismos puntos. El modo de rayos de construcción usa una lente ideal de espesor nulo y mide desde el centro.

Por eso, en el escenario de cámara, cerrar el control de apertura reduce la mancha borrosa en la pantalla. Diafragmar bloquea los rayos del borde, reduce la aberración esférica y aumenta la profundidad de campo, a cambio de menos luz. El número f, N = f/D con D el diámetro de la apertura, resume ese compromiso.

Aberraciones que la herramienta no incluye

El índice de refracción es un único número fijo, así que no hay aberración cromática. El vidrio real desvía más la luz azul que la roja, de modo que el azul enfoca más cerca de la lente. Los dobletes acromáticos, que unen un elemento de vidrio crown y otro flint de distinta dispersión, se usan desde mediados del siglo XVIII para cancelar la mayor parte de ese error. Además, los rayos solo se trazan en un plano que contiene el eje, así que no aparecen el coma, el astigmatismo ni la distorsión, que se manifiestan con rayos fuera del eje en tres dimensiones.

Qué hace la fórmula en cada escenario

La lupa mantiene el objeto dentro de la distancia focal para que b sea negativa y la imagen, virtual y derecha. El proyector coloca el objeto justo fuera del foco para lanzar lejos una imagen real grande e invertida. El escenario de teleobjetivo muestra que una focal más larga da una imagen mayor, pero obliga a que la lente esté a unos f del sensor, y por eso los teleobjetivos son largos. El escenario de telescopio es un montaje kepleriano: el foco del objetivo (f₁ = 40 cm) y el del ocular (f₂) coinciden, y la luz sale de nuevo paralela. El aumento angular es −f₁/f₂; el signo menos indica que se ve invertido.

Ejemplos

Cómo se usa

1. Elige un escenario: cámara, lupa, telescopio u otro.
2. Con los controles, mueve la lente o el objeto, o cambia la focal y la apertura.
3. Alterna entre el haz de rayos y los tres rayos de construcción para comparar la posición de la fórmula con el cruce real.
4. En modo libre, prueba otros índices de refracción y una lente cóncava (f negativa).

Preguntas frecuentes