렌즈 광선 추적베타

렌즈 광선 추적 소개

이 도구는 얇은 렌즈 공식으로 상의 위치를 계산하는 데서 그치지 않는다. 렌즈를 실제 구면 두 장으로 만들고, 광선 하나하나가 앞면과 뒷면을 지날 때마다 스넬 법칙으로 꺾이는 방향을 계산한다. 그래서 공식이 말하는 상의 자리와 실제 광선이 모이는 자리가 조금씩 어긋나고, 그 차이가 곧 수차다. 길이 단위는 cm다.

렌즈 모양은 렌즈 제작자 공식에서 정한다. 앞뒤 곡률 반지름이 같은 양볼록 렌즈가 아주 얇다면 1/f = (n − 1)·2/R 이므로 R = 2(n − 1)f 다. 도구는 여기에 가운데 두께 d까지 넣은 두꺼운 렌즈 공식 1/f = (n − 1)(2/R − (n − 1)d/(nR²))를 풀어 R을 정하므로, 근축 초점거리가 슬라이더의 f와 정확히 같다. 기본값 f = 20cm, n = 1.52, 구경 반지름 3cm이면 R ≈ 20.7cm(얇은 렌즈 근사로는 20.8cm), 두께 약 0.69cm다. f를 음수로 두면 R도 음수가 되어 가운데가 얇은 오목 렌즈가 그려진다.

1/a + 1/b = 1/f 와 부호 규칙

이 도구는 물체 거리 a를 렌즈 왼쪽으로 잰 양수로 두고, 상 거리 b가 양수면 렌즈 오른쪽의 실상, 음수면 물체와 같은 쪽의 허상으로 읽는다. 배율은 m = −b/a로, 음수면 거꾸로 선 상이다. 한국 고등학교 교과서와 미국 교재 대부분이 쓰는 방식(실상이 양수)과 같다.

영국과 여러 대학 광학 교재는 데카르트 부호 규칙을 쓴다. 모든 거리를 렌즈에서 빛이 나아가는 방향으로 재므로 왼쪽의 실물체는 음수가 되고, 공식은 1/v − 1/u = 1/f 로 모양이 바뀐다. 두 식은 u = −a, v = b를 넣으면 같은 식이다. 인터넷에서 찾은 풀이와 답의 부호가 다르다면 대개 이 차이다. 렌즈가 두 장 이상이면 데카르트 방식이 실수를 줄여 주는데, 앞 렌즈의 상이 다음 렌즈의 물체가 될 때 부호를 따로 바꿀 필요가 없기 때문이다.

초점에서 잰 거리를 쓰면 식이 더 짧아진다. 물체가 앞 초점에서 x, 상이 뒤 초점에서 x′ 떨어져 있으면 x·x′ = f² 이다(뉴턴 형식). 물체가 초점에 가까워질수록 상이 멀리 달아나는 이유가 한눈에 보인다.

공식과 광선이 어긋나는 곳: 구면수차

얇은 렌즈 공식은 광축 가까이 지나는 광선에만 맞는다. 구면 렌즈는 가장자리로 갈수록 굴절이 과해져, 가장자리 광선은 가운데 광선보다 렌즈 가까이에서 축을 지난다. 도구와 같은 모양(f = 20cm, n = 1.52, 양면 R ≈ 20.7cm)으로 평행광을 계산하면, 구경 반지름이 3cm일 때 축 근처 광선은 렌즈 중심에서 약 20.1cm, 높이 3cm 광선은 약 19.4cm에서 축을 지난다. 구경을 6cm로 넓히면(R ≈ 20.4cm) 높이 5cm 광선은 약 18.2cm까지 당겨진다.

축 근처 광선이 20cm가 아니라 20.1cm에 모이는 것은 초점거리가 틀려서가 아니다. 도구는 렌즈를 얇은 판이 아니라 가운데 두께 (2 × 처짐 + 0.25cm)인 실제 렌즈로 그린다. 두꺼운 렌즈에서는 거리를 렌즈 가운데가 아니라 주평면에서 재는데, 대칭 렌즈의 두 주평면은 가운데에서 앞뒤로 δ(여기서 약 0.12cm)씩 떨어져 있다. 초점은 뒤 주평면에서 정확히 f = 20cm 뒤, 곧 가운데에서 20.12cm다. 화면의 「공식이 말하는 자리」도 광선 다발 모드에서는 이 주평면 기준으로 계산하므로, 구경을 좁히면 추적한 초점과 거의 딱 맞고(구경 0.3cm에서 차이 약 0.02cm) 남는 차이는 구면수차뿐이다. 화면의 F 표시도 같은 자리에 찍힌다. 작도 광선 모드는 두께 0인 이상적 렌즈라 가운데에서 잰다.

카메라 시나리오에서 구경 슬라이더를 줄이면 스크린 위 번짐이 줄어드는 이유가 이것이다. 조리개를 조이면 가장자리 광선이 막혀 구면수차가 줄고 피사계 심도도 깊어지지만, 들어오는 빛이 줄어 어두워진다. 조리개값 F = f/D(D는 구경 지름)가 이 균형을 나타내는 숫자다.

이 도구에 없는 수차

굴절률 n은 하나의 값으로 고정되어 있어 색수차가 없다. 실제 유리는 파란빛에서 굴절률이 더 커서 파란빛이 렌즈에 더 가까이 모인다. 굴절률과 분산이 다른 두 유리(크라운과 플린트)를 붙인 색지움 렌즈가 18세기 중반부터 이 문제를 줄여 왔다. 또 광선은 광축을 포함한 한 평면 안에서만 추적하므로 코마, 비점수차, 왜곡처럼 축에서 벗어난 3차원 광선에서 드러나는 수차도 보이지 않는다.

시나리오별로 공식이 하는 일

돋보기는 물체를 초점 안쪽에 두어 b가 음수인 정립 허상을 만든다. 영사기는 물체를 초점 바로 바깥에 두어 멀리 크게 뒤집힌 실상을 맺는다. 망원 시나리오는 f를 키울수록 상이 커지는 대신 렌즈가 스크린에서 f만큼 떨어져야 해서 경통이 길어지는 것을 보여 준다. 망원경 시나리오는 대물렌즈(f₁ = 40cm)의 초점과 접안렌즈(f₂)의 초점을 겹쳐, 나간 빛이 다시 나란해지게 만드는 케플러식 배치다. 각배율은 −f₁/f₂이고 음수는 상이 뒤집혀 보인다는 뜻이다.

예시

사용 방법

1. 카메라, 돋보기, 망원경 같은 시나리오를 고른다.
2. 슬라이더로 렌즈·물체 위치나 초점거리, 구경을 바꾼다.
3. 광선 다발과 작도 광선 3개를 번갈아 보며 공식 위치와 실제 광선이 모이는 곳을 비교한다.
4. 자유 실험에서 굴절률과 오목 렌즈(음수 f)를 시험한다.

자주 묻는 질문