Modelo de Pila de ArenaBeta

Acerca de Modelo de Pila de Arena

Esta herramienta es una pila de arena unidimensional vista de lado. El suelo está dividido en columnas y el número de granos de cada columna es su altura. Cuando la diferencia de altura (la pendiente local) entre una columna y su vecina supera un umbral, un grano se desliza hacia el lado más bajo; si ese grano lleva a la vecina por encima de su propio umbral, la cadena continúa. Toda la cadena es una avalancha, y su tamaño se cuenta como el número de deslizamientos individuales.

El umbral es el «umbral base» más un 0 o un 1 al azar, que se vuelve a sortear cada vez que un grano sale de esa columna. Con los valores por defecto (base 1, irregularidad 0,5) el umbral vale 1 o 2 con la misma probabilidad: es la regla del modelo de Oslo, que investigadores de la Universidad de Oslo crearon en 1996 para explicar su experimento con arroz. La diferencia es que en el modelo de Oslo los granos solo se mueven en un sentido; aquí resbalan hacia el lado más empinado, y cada extremo de la pila puede abrirse o cerrarse con una pared.

La pila de arena de Bak, Tang y Wiesenfeld (1987)

El término criticalidad autoorganizada (SOC) procede de un artículo de 1987 de Per Bak, Chao Tang y Kurt Wiesenfeld. Propusieron un autómata celular sencillo: se dejan caer granos uno a uno sobre una malla y, cuando una celda supera un límite, reparte granos a sus vecinas. Sin que nadie ajuste ningún parámetro, el sistema se lleva solo a un estado crítico en el que hay avalanchas de todos los tamaños, y esos tamaños siguen una ley de potencias sin escala típica. Como indica el título, el objetivo original era explicar el ruido 1/f que aparece por toda la naturaleza.

En física, el comportamiento crítico suele exigir que un parámetro como la temperatura se fije con exactitud. La pila de arena resulta interesante porque basta con verter despacio para que el sistema se quede en ese punto. Si la pendiente es suave, los granos se acumulan y la empinan; si es excesiva, las avalanchas la recortan.

Por qué la arena real decepcionó y el arroz funcionó

Los experimentos que buscaban SOC en arena de verdad no encontraron, en general, leyes de potencias limpias. En 1996, Frette y sus colegas dejaron caer granos de arroz uno a uno en la estrecha rendija entre dos placas de vidrio. El arroz alargado mostró avalanchas con ley de potencias; el más redondeado, no. Los granos largos se traban de formas muy variadas, así que la pendiente que aguanta cada zona cambia continuamente.

El mismo grupo introdujo el modelo de Oslo para reproducirlo: en vez de un umbral fijo, la pendiente crítica de cada sitio se vuelve a sortear como 1 o 2 tras cada derrumbe. Publicaron un exponente de tamaño de avalancha de aproximadamente 1,55 (±0,10). Si pones a 0 el control de irregularidad, todos los granos comparten umbral y la pila se vuelve un diente de sierra regular. Comparar las estadísticas antes y después muestra por qué importa el azar.

Cómo leer la gráfica log-log

Cada punto de la gráfica es un intervalo de tamaños cuya anchura se duplica: [1, 2), [2, 4), [4, 8), etc. Como los intervalos tienen anchuras distintas, la herramienta divide cada recuento por la anchura y representa una densidad. Así la pendiente de la línea discontinua estima directamente −τ. Con los recuentos brutos por intervalo, la pendiente sería −(τ − 1) y parecería mucho más suave.

Es normal que los puntos de la derecha se dispersen o caigan. Con un número finito de columnas ninguna avalancha puede superar lo que permite la pila (corte por tamaño finito), y los intervalos grandes tienen muy pocos casos. Hacen falta cientos o miles de avalanchas para que la pendiente se estabilice; por eso el escenario del arroz pide 1000.

El «ángulo de reposo» que se muestra sale de la pendiente estacionaria medida dejando correr este modelo mucho tiempo. Por defecto el umbral medio es 1,5, pero la pila se asienta en una pendiente más empinada, de unos 1,71. Las columnas que sacan un umbral bajo (1) se derrumban enseguida y vuelven a sortearlo, mientras que las que sacan uno alto (2) sostienen la ladera más tiempo; es una propiedad conocida del modelo de Oslo, cuya pendiente tiende a unos 1,73 en pilas grandes. La herramienta toma la altura de un grano como media anchura de columna, así que muestra arctan(1,71 × 0,5) ≈ 40,5°. Vertiendo 120.000 granos en una rampa de 100 columnas, la pendiente media coincide con ese valor y queda 3–4 grados por encima de los 37° que daría el umbral medio. La «Pendiente» mide la pila en ese instante, así que oscila uno o dos grados antes y después de cada avalancha.

Qué pone a prueba cada escenario

«Reloj de arena» deja caer un grano cada vez en el mismo punto y pide presenciar una gran avalancha de 200 deslizamientos o más. «Ladera nevada» y «Acopio de obra» invierten el objetivo: evitar que el material acabe en la carretera. Una valla (columna con el suelo elevado) sostiene la ladera de encima, y mojar una columna eleva su umbral para que aguante una cara más empinada, igual que la arena húmeda permite hacer castillos.

La herramienta «Golpe» baja un momento el umbral a cero dentro de un radio y obliga a resbalar a los granos sueltos. Es la misma idea que los aludes provocados en carreteras de montaña: soltar uno pequeño antes de que se forme uno grande.

Ejemplos

Cómo se usa

1. Elige un escenario y, si se permite, coloca antes vallas, agua o el punto de vertido.
2. Pulsa ▶ Empezar a verter y observa los tamaños de avalancha y la gráfica log-log.
3. En Experimento libre, cambia irregularidad y umbral base y compara las distribuciones.

Términos clave

Criticalidad autoorganizada

Tendencia de un sistema impulsado lentamente a situarse por sí solo en un estado crítico, con tamaños de suceso que siguen una ley de potencias.

Tamaño de avalancha

Aquí, el número total de deslizamientos desde que cae un grano hasta que la pila se detiene.

Exponente τ

Si las avalanchas de tamaño s ocurren con frecuencia proporcional a s^−τ, τ es el exponente: el valor absoluto de la pendiente en una gráfica log-log de densidad.

Modelo de Oslo

Modelo unidimensional de pila de arroz en el que el umbral de cada sitio se sortea de nuevo como 1 o 2 tras cada derrumbe (Christensen et al., 1996).

Preguntas frecuentes