모래더미 모형베타

모래더미 모형 소개

이 도구는 모래더미를 옆에서 본 1차원 모형이다. 바닥이 칸으로 나뉘어 있고 칸마다 쌓인 알의 수가 높이가 된다. 한 칸과 이웃 칸의 높이 차(경사)가 문턱보다 크면 알 하나가 낮은 쪽으로 미끄러지고, 그 알이 이웃의 경사를 다시 넘치게 하면 연쇄가 이어진다. 이 연쇄 전체가 사태 한 번이고, 사태 크기는 그동안 알이 미끄러진 횟수로 센다.

문턱은 「기본 문턱」에 무작위로 0 또는 1이 더해진 값이며, 한 칸에서 알이 미끄러질 때마다 새로 뽑는다. 기본 설정(기본 문턱 1, 불규칙함 0.5)이면 문턱은 반반의 확률로 1 또는 2가 된다. 이것은 1996년 오슬로 대학 연구진이 쌀더미 실험을 설명하려고 만든 「오슬로 모형」의 규칙과 같다. 다만 오슬로 모형은 알이 한쪽으로만 흐르는데, 이 도구에서는 더 가파른 쪽으로 흐르고 양쪽 끝을 열거나 막을 수 있다.

박·탕·비젠펠트(1987)의 모래더미

자기 조직화 임계성(SOC)이라는 말은 1987년 퍼 박, 차오 탕, 커트 비젠펠트의 논문에서 나왔다. 이들은 격자 칸에 알을 하나씩 떨어뜨리고, 한 칸에 쌓인 양이 한계를 넘으면 이웃에게 나눠 주는 단순한 셀 오토마타를 제안했다. 누가 조정하지 않아도 계는 사태가 온갖 크기로 일어나는 임계 상태로 스스로 찾아가고, 사태 크기 분포는 특정한 평균 규모가 없는 멱법칙을 따른다는 것이 핵심 주장이었다. 논문 제목처럼 원래 목표는 자연 곳곳에 나타나는 1/f 잡음을 설명하는 것이었다.

물리학에서 임계 현상은 보통 온도 같은 변수를 정확한 값에 맞춰야 나타난다. 모래더미가 흥미로운 이유는 알을 천천히 붓기만 하면 계가 그 지점에 스스로 머문다는 데 있다. 경사가 너무 완만하면 알이 쌓여 가팔라지고, 너무 가파르면 사태가 깎아 내린다.

진짜 모래는 왜 안 되고 쌀은 되었나

실제 모래더미로 SOC를 확인하려던 실험들은 대체로 기대와 달랐다. 1996년 프레테 등은 두 유리판 사이의 좁은 틈에 쌀알을 한 알씩 떨어뜨려 사태를 쟀는데, 길쭉한 쌀에서는 멱법칙이 보였고 덜 길쭉한 쌀에서는 보이지 않았다. 길쭉한 알은 서로 걸리는 방식이 제각각이라 버티는 경사가 매번 달라진다.

같은 연구 그룹이 이 실험을 흉내 내려고 만든 것이 오슬로 모형이다. 핵심은 문턱을 고정하지 않고 1 또는 2로 매번 새로 뽑는 것이다. 이 모형의 사태 크기 지수는 약 1.55(±0.10)로 보고되었다. 이 도구의 「불규칙함」 슬라이더를 0으로 두면 모든 알이 같은 문턱을 갖게 되고, 더미는 규칙적인 톱니 모양이 된다. 이때 사태 분포가 어떻게 무너지는지 비교해 보면 무작위성이 왜 필요한지 보인다.

로그-로그 그래프를 읽을 때

그래프의 점 하나는 크기가 [1, 2), [2, 4), [4, 8)처럼 두 배씩 넓어지는 구간 하나다. 구간마다 넓이가 다르므로 도구는 세어 둔 개수를 구간 폭으로 나눈 「밀도」를 찍는다. 그래서 점선의 기울기가 곧 멱법칙 지수 −τ에 해당한다. 구간별 개수를 그대로 찍었다면 기울기는 −(τ − 1)로 훨씬 완만해 보였을 것이다.

오른쪽 끝에서 점이 떨어지거나 들쭉날쭉한 것은 정상이다. 칸 수가 유한하므로 더미 전체 크기보다 큰 사태는 일어날 수 없고(유한 크기 절단), 큰 구간은 표본이 몇 개 없다. 기울기를 믿으려면 사태를 수백~수천 번 모아야 하고, 「쌀더미 실험」 상황의 목표가 1000번인 이유도 이것이다.

화면에 보이는 「안식각」은 이 모형을 오래 돌려 잰 정상 상태 경사에서 계산한 값이다. 기본 설정에서 문턱 평균은 1.5지만 더미가 자리 잡는 경사는 약 1.71로 더 가파르다. 문턱이 낮게(1) 뽑힌 칸은 곧바로 무너져 문턱을 다시 뽑고, 높게(2) 뽑힌 칸이 비탈을 오래 받치기 때문이다(오슬로 모형의 알려진 성질로, 큰 더미에서 약 1.73). 알 높이와 칸 폭의 비를 0.5로 잡았으므로 arctan(1.71 × 0.5) ≈ 40.5°가 표시된다. 100칸 비탈에 알 12만 개를 부어 보면 평균 경사가 이 값과 맞고, 문턱 평균으로 계산한 37°보다 3~4도 가파르다. 화면의 「경사」는 지금 순간의 더미를 잰 값이라 사태 직전·직후에 이 값 위아래로 1~2도 흔들린다.

상황별로 보는 것

「모래시계」는 한 점에 한 알씩 떨어뜨려 큰 사태(알 200번 이상 미끄러짐)를 기다리는 상황이다. 「눈 쌓인 비탈」과 「공사장 모래 적치장」은 목표가 반대다. 넘쳐 나가는 양을 줄여야 한다. 울타리(바닥을 높인 칸)는 위쪽 비탈을 떠받치고, 물을 뿌린 칸은 문턱이 커져 더 가파르게 버틴다. 젖은 모래로 모래성을 쌓을 수 있는 것과 같은 이치다.

「툭 치기」는 반경 안 칸들의 문턱을 잠깐 0으로 만들어 쌓인 알을 억지로 흘려 보낸다. 큰 사태가 오기 전에 작은 사태를 일부러 일으키는 산악 도로의 인공 눈사태 유도와 비슷한 발상이다.

예시

사용 방법

1. 상황을 고르고, 필요하면 시작 전에 울타리·물·붓는 위치를 정한다.
2. ▶ 붓기 시작을 누르고 사태 크기와 로그-로그 그래프를 지켜본다.
3. 「자유 실험」에서 불규칙함과 기본 문턱을 바꿔 분포를 비교한다.

주요 용어

자기 조직화 임계성

외부에서 변수를 맞추지 않아도 계가 스스로 임계 상태에 머물러, 사건 크기가 멱법칙을 따르는 성질.

사태 크기

이 도구에서는 알 하나를 떨어뜨린 뒤 더미가 멈출 때까지 알이 미끄러진 총 횟수.

멱법칙 지수 τ

크기 s인 사태의 빈도가 s^−τ에 비례할 때의 τ. 로그-로그 그래프에서 기울기의 절댓값.

오슬로 모형

문턱을 1 또는 2로 매번 무작위로 다시 뽑는 1차원 쌀더미 모형(Christensen 등, 1996).

자주 묻는 질문