만델브로 탐험기베타

만델브로 탐험기 소개

화면의 각 픽셀은 복소수 c 하나다. 도구는 z₀ = 0에서 시작해 z → z² + c를 반복하고, |z|가 256을 넘으면 그때까지의 반복 횟수로 색을 칠한다. 최대 반복 횟수 안에 한 번도 넘지 않으면 검은색, 즉 만델브로 집합에 속한다고 판정한다. 계산은 64비트 부동소수점(f64)으로 하고, 처음 화면은 중심 −0.6, 짧은 변 폭 2.8이다.

「클릭으로 쥘리아 c 고르기」를 눌러 만델브로 집합 위를 클릭하면 모드가 바뀐다. 이번에는 c를 고정하고 픽셀마다 시작점 z₀를 바꿔 같은 반복을 한다. 두 그림은 같은 식에서 무엇을 고정하느냐의 차이일 뿐이다.

집합의 정의와 「2를 넘으면 끝」인 이유

만델브로 집합은 0에서 출발한 z² + c의 궤도가 무한히 커지지 않는 c 전체다. 수학적으로는 |z|가 한 번이라도 2를 넘으면 그 뒤로는 반드시 무한대로 달아난다는 것이 증명되어 있어서, 판정에는 반지름 2면 충분하다. 이 도구가 256까지 기다리는 것은 판정 때문이 아니라 색을 부드럽게 칠하기 위해서다. |z|가 클수록 아래 설명할 보정 공식이 정확해진다.

몇 개를 손으로 따라가 보면 감이 온다. c = −1이면 0, −1, 0, −1…로 영원히 오가므로 집합 안이다. c = −2면 0, −2, 2, 2, 2…로 멈춰 있으니 역시 안이고, 집합이 실수축에서 −2까지 뻗는 이유다. c = 1이면 0, 1, 2, 5, 26, 677로 다섯 번째 반복에서 256을 넘는다.

만델브로는 1980년 논문에서 이 집합의 그림을 처음 널리 알렸고, 곧 두아디와 허버드가 이 집합에 「만델브로 집합」이라는 이름을 붙이고 연결성 같은 성질을 증명했다.

탈출 시간 알고리즘과 부드러운 색

반복 횟수 n을 그대로 색으로 쓰면 n이 정수라 색이 계단처럼 띠를 이룬다. 이 도구는 μ = n + 1 − log₂(log₂|zₙ|)로 소수점 이하를 보정한다. |z|가 커지면 매 반복마다 대략 제곱되므로, 탈출 순간에 |z|가 얼마나 컸는지를 보면 「실제로는 n과 n+1 사이 어디쯤에서 넘었는지」를 추정할 수 있다. 그래서 띠 경계가 사라진다.

속도를 위한 요령도 하나 있다. 주 카디오이드(가장 큰 심장 모양)와 그 왼쪽의 주기 2 원판 안쪽은 식 하나로 바로 판정할 수 있다. 여기는 최대 반복까지 돌아도 결국 검은색이 되는 곳이라, 계산을 건너뛰면 처음 화면이 훨씬 빨리 나온다.

최대 반복 횟수가 모자라면 생기는 일

검은색은 「집합 안」이 아니라 「최대 반복까지 탈출하지 않았다」는 뜻이다. 경계 근처에는 아주 오래 버티다 탈출하는 점이 많아서, 반복 횟수가 모자라면 바깥 점이 검게 칠해지고 가는 필라멘트가 뭉툭해 보인다.

재미있는 예가 해마 골짜기의 입구, c = −0.75 근처다. c = −0.75 + εi에서 탈출에 걸리는 반복 수에 ε를 곱하면 π에 가까워진다. 1991년 데이브 볼이 발견하고 클레바노프가 2001년 논문으로 정리한 현상이다. 기본값 500회로는 ε = 0.001인 점(실제로는 3,146회 만에 탈출)을 집합 안으로 잘못 칠한다. 「확대에 맞춰 자동」을 켜면 반복 수가 200 + 120 × (log₁₀ 배율)²로 늘어나며, 최대 20,000회다.

확대가 약 10¹³배에서 멈추는 이유

f64는 유효숫자가 53비트다. 1과 2 사이의 수는 약 2.2 × 10⁻¹⁶ 간격으로만 표현되고, 0.5와 1 사이는 그 절반이다. 이 도구는 화면 폭이 10⁻¹³ 밑으로 내려가지 않게 막아 두었는데, 캔버스가 800픽셀이라면 한 픽셀 간격이 1.25 × 10⁻¹⁶이 된다. 실수부 크기가 1을 넘는 지점(예: 해마 골짜기 왼쪽, c ≈ −1.25)에서는 이 간격이 표현 가능한 간격보다 작아져, 이웃 픽셀이 같은 수로 반올림되고 네모난 블록이 보이기 시작한다.

초고배율 동영상을 만드는 프로그램들은 기준점 하나만 임의 정밀도로 계산하고 나머지는 그 차이만 f64로 계산하는 섭동(perturbation) 기법 등을 쓴다. 이 도구는 브라우저에서 즉시 움직이는 것을 우선해 이 방법을 쓰지 않는다. 그래서 확대 한계는 약 2.8 × 10¹³배다.

쥘리아 집합: c를 어디서 고르느냐

c가 만델브로 집합 안이면 그 c의 쥘리아 집합은 한 덩어리로 이어진 모양이고, 바깥이면 흩어진 먼지(칸토어 집합)가 된다. 만델브로 집합은 「쥘리아 집합이 이어져 있는 c의 지도」라고 볼 수 있다. 경계 가까이에서 c를 고를수록 쥘리아 집합도 복잡해진다. 기본값 c = −0.8 + 0.156i는 경계 바로 근처의 점이다.

예시

사용 방법

1. 휠이나 두 손가락으로 확대하고, 끌어서 이동한다.
2. 경계가 뭉개지면 최대 반복을 올리거나 「확대에 맞춰 자동」을 켠다.
3. 「클릭으로 쥘리아 c 고르기」를 누르고 집합 위 한 점을 클릭한다.
4. 색상 팔레트를 바꿔 반복 구조를 다르게 본다.

주요 용어

탈출 시간

궤도의 크기가 탈출 반지름을 처음 넘을 때까지의 반복 횟수.

주 카디오이드

집합 본체의 심장 모양 부분. 이 안의 c는 궤도가 한 점으로 수렴한다.

쥘리아 집합

c를 고정했을 때 z² + c 반복이 발산하지 않는 시작점들의 경계.

배정밀도(f64)

IEEE 754의 64비트 부동소수점 형식. 유효숫자 53비트, 십진 약 15~16자리.

자주 묻는 질문