Explorador de MandelbrotBeta

Acerca de Explorador de Mandelbrot

Cada píxel de la pantalla es un número complejo c. Partiendo de z₀ = 0, la herramienta itera z → z² + c y, en cuanto |z| supera 256, colorea el píxel según cuántas iteraciones han hecho falta. Si |z| no cruza ese límite dentro del máximo de iteraciones, el píxel se pinta de negro y se considera parte del conjunto de Mandelbrot. Los cálculos usan coma flotante de 64 bits (f64), y la vista inicial está centrada en −0,6 con el lado corto de la pantalla abarcando 2,8.

Pulsa «Elegir c de Julia con un clic» y haz clic sobre el conjunto de Mandelbrot para cambiar de modo. Ahora c queda fijo y cada píxel aporta un punto de partida z₀ distinto para la misma iteración. Las dos imágenes salen de la misma fórmula; solo cambia qué variable se mantiene quieta.

La definición y por qué 2 es el punto sin retorno

El conjunto de Mandelbrot es el conjunto de todos los c para los que la órbita de 0 bajo z² + c permanece acotada. Está demostrado que, en cuanto |z| supera 2, la órbita se va al infinito con seguridad, así que un radio 2 basta para decidir. La herramienta espera hasta 256 no por el veredicto sino por el color: la fórmula de suavizado que se explica abajo es más precisa cuanto mayor es |z| al escapar.

Seguir algunas órbitas a mano ayuda a entenderlo. Con c = −1 la órbita es 0, −1, 0, −1… para siempre: −1 está dentro. Con c = −2 es 0, −2, 2, 2, 2… y se queda ahí: también dentro, y por eso el conjunto llega exactamente hasta −2 en el eje real. Con c = 1 es 0, 1, 2, 5, 26, 677 y supera 256 en la quinta iteración.

El artículo de Benoit Mandelbrot de 1980 dio a conocer las imágenes del conjunto, y poco después Adrien Douady y John Hubbard le dieron su nombre y demostraron propiedades como su conexión.

Tiempo de escape y color suavizado

Colorear con el número de iteraciones n tal cual produce bandas visibles, porque n es entero. Esta herramienta usa μ = n + 1 − log₂(log₂|zₙ|) para añadir una parte fraccionaria. Cuando |z| ya es grande, se eleva aproximadamente al cuadrado en cada paso, así que cuánto ha rebasado el umbral indica en qué punto entre n y n + 1 «ocurrió» realmente el cruce. Eso borra los bordes de las bandas.

También hay un atajo de velocidad. Los puntos dentro de la cardioide principal (la gran forma de corazón) y del disco de periodo 2 a su izquierda se reconocen con una sola fórmula. De todos modos agotarían el límite de iteraciones y saldrían negros, así que saltárselos hace que la primera imagen aparezca mucho antes.

Cuando el límite de iteraciones se queda corto

El negro significa «no escapó dentro del límite», no «está demostrado que pertenece». Cerca del borde muchos puntos aguantan muchísimo antes de escapar, así que un límite bajo pinta de negro puntos exteriores y hace que los filamentos finos parezcan romos.

Un caso llamativo es la entrada del Valle de los Caballitos de Mar, cerca de c = −0,75. Para c = −0,75 + εi, el número de iteraciones hasta escapar multiplicado por ε se acerca a π: lo descubrió Dave Boll en 1991 y Aaron Klebanoff lo analizó en un artículo de 2001. Con las 500 iteraciones por defecto, el punto con ε = 0,001 (que en realidad escapa tras 3146 iteraciones) se pinta por error como interior. Con «Automático según zoom», el límite crece como 200 + 120 × (log₁₀ aumento)², hasta 20 000.

Por qué el zoom se detiene hacia 10¹³ aumentos

Un f64 tiene 53 bits de mantisa. Los números entre 1 y 2 están separados unos 2,2 × 10⁻¹⁶, y los que van de 0,5 a 1, la mitad. La herramienta no deja que el ancho de la vista baje de 10⁻¹³; en un lienzo de 800 píxeles, eso da 1,25 × 10⁻¹⁶ por píxel. Donde la parte real supera 1 en valor absoluto —por ejemplo, el lado izquierdo del Valle de los Caballitos, cerca de c ≈ −1,25— ese paso es más fino que la separación entre números representables, los píxeles vecinos se redondean al mismo valor y empiezan a verse bloques cuadrados.

Los programas que generan vídeos de zoom extremo suelen calcular una órbita de referencia con precisión arbitraria y el resto como pequeñas diferencias en f64 (métodos de perturbación). Esta herramienta prioriza la respuesta inmediata en el navegador y no lo hace, así que su límite es de unos 2,8 × 10¹³ aumentos.

Conjuntos de Julia: importa dónde eliges c

Si c está dentro del conjunto de Mandelbrot, su conjunto de Julia es una sola pieza conexa; si está fuera, se rompe en polvo disperso (un conjunto de Cantor). En ese sentido, el conjunto de Mandelbrot es un mapa de los c que dan conjuntos de Julia conexos. Cuanto más cerca del borde eliges c, más intrincado resulta el conjunto de Julia; el valor por defecto c = −0,8 + 0,156i está justo al lado.

Ejemplos

Cómo se usa

1. Amplía con la rueda o pellizcando, y arrastra para moverte.
2. Si el borde se ve borroso, sube las iteraciones máximas o activa «Automático según zoom».
3. Pulsa «Elegir c de Julia con un clic» y haz clic en un punto del conjunto.
4. Cambia de paleta para resaltar otra estructura de iteraciones.

Términos clave

Tiempo de escape

Número de iteraciones hasta que la órbita supera por primera vez el radio de escape.

Cardioide principal

El cuerpo en forma de corazón del conjunto; para c dentro de ella, la órbita converge a un único punto.

Conjunto de Julia

Para un c fijo, la frontera del conjunto de puntos iniciales cuyas órbitas bajo z² + c permanecen acotadas.

Doble precisión (f64)

Formato de coma flotante de 64 bits de IEEE 754: mantisa de 53 bits, unas 15–16 cifras decimales.

Preguntas frecuentes