砂山モデルベータ

砂山モデルについて

このツールは砂山を横から見た1次元の模型です。床が列に分かれていて、列ごとの粒の数が高さになります。ある列と隣の列の高さの差(傾き)がしきい値を超えると粒が1つ低い側へ滑り、その粒が隣の傾きもしきい値を超えさせると連鎖が続きます。この連鎖全体が1回のなだれで、その大きさは粒が滑った回数で数えます。

しきい値は「基本しきい値」に0か1をランダムに足した値で、その列から粒が滑るたびに引き直されます。初期設定(基本1、ばらつき0.5)ではしきい値が半々の確率で1か2になり、1996年にオスロ大学の研究者が米粒の山の実験を説明するためにつくった「オスロ模型」と同じ規則です。ただしオスロ模型では粒が一方向にしか流れませんが、このツールではより急な側へ流れ、両端を開けるか壁にするかを選べます。

バク・タン・ヴィーゼンフェルド(1987)の砂山

自己組織化臨界(SOC)という言葉は、1987年のパー・バク、チャオ・タン、カート・ヴィーゼンフェルドの論文から生まれました。格子に粒を1つずつ落とし、あるマスにたまった量が限界を超えたら隣へ配る、という単純なセル・オートマトンです。誰もパラメータを調整しなくても系はさまざまな大きさのなだれが起こる臨界状態へ自ら向かい、なだれの大きさの分布は典型的な規模を持たないべき乗則に従う、というのが主張の核心でした。論文題名のとおり、もともとの目的は自然界に広く見られる1/f ゆらぎの説明です。

物理学の臨界現象は、ふつう温度などを特定の値にぴったり合わせないと現れません。砂山が面白いのは、ゆっくり粒を注ぐだけで系がその点にとどまることです。傾きがゆるければ粒がたまって急になり、急すぎればなだれが削ります。

本物の砂ではうまくいかず、米ではうまくいった理由

実際の砂山で SOC を確かめようとした実験は、多くが期待どおりのべき乗則を示しませんでした。1996年、フレッテらは2枚のガラス板のすき間に米粒を1粒ずつ落としてなだれを測り、細長い米ではべき乗則が見られ、丸みのある米では見られないことを示しました。細長い粒は引っかかり方が毎回違うので、保てる傾きが変わり続けます。

この実験をまねるために同じグループが導入したのがオスロ模型です。しきい値を固定せず、崩れるたびに1か2を引き直します。報告されたなだれの大きさの指数は約1.55(±0.10)でした。このツールで「ばらつき」を0にすると全粒が同じしきい値になり、山は規則的なのこぎり形になります。そのときの分布の崩れ方を比べると、ランダムさがなぜ必要なのかが見えます。

両対数グラフの読み方

グラフの点1つは、[1, 2)、[2, 4)、[4, 8) のように幅が倍々に広がる区間1つです。区間の幅が違うので、ツールは数えた件数を区間幅で割った「密度」を描きます。そのため点線の傾きがそのままべき指数 −τ の推定値になります。区間ごとの件数をそのまま描いていたら、傾きは −(τ − 1) になり、ずっとゆるく見えたはずです。

右端で点がばらついたり落ち込んだりするのは正常です。列の数が有限なので山全体より大きいなだれは起こらず(有限サイズの打ち切り)、大きな区間には数件しか入りません。傾きを信用するには数百〜数千回のなだれが必要で、「米粒の山の実験」の目標が1000回なのはそのためです。

画面の「安息角」は、このモデルを長く回して測った定常状態の傾きから計算した値です。初期設定ではしきい値の平均は1.5ですが、山が落ち着く傾きは約1.71とそれより急です。しきい値が低く(1)引かれた列はすぐ崩れて引き直され、高く(2)引かれた列が斜面を長く支えるためです(オスロ模型の既知の性質で、大きな山では約1.73)。粒の高さを列幅の0.5倍としているので arctan(1.71 × 0.5) ≈ 40.5° と表示されます。100列の斜面に12万粒を注ぐと平均の傾きはこの値と一致し、平均しきい値から出す37°より3〜4度急です。画面の「傾き」はその瞬間の山を測った値なので、なだれの直前・直後に1〜2度上下します。

シナリオごとに試していること

「砂時計」は1点に1粒ずつ落とし、200回以上滑る大きななだれを待つ設定です。「雪の積もった斜面」と「工事現場の砂置き場」は逆に、道路へあふれる量を減らすのが目標です。柵(床を上げた列)は上の斜面を支え、水をまいた列はしきい値が上がって急な面を保ちます。湿った砂で砂の城が作れるのと同じ理屈です。

「つつく」は半径内のしきい値を一時的に0にして、たまった粒を強制的に流します。大きな雪崩が育つ前に小さな雪崩を人工的に起こしておく、山岳道路の予防措置と同じ発想です。

例

使い方

1. シナリオを選び、必要なら開始前に柵・水・注ぐ位置を決める。
2. ▶ 注ぎ始めるを押し、なだれの大きさと両対数グラフを見る。
3. 「自由実験」でばらつきと基本しきい値を変え、分布を比べる。

主な用語

自己組織化臨界

外からパラメータを合わせなくても系が自ら臨界状態にとどまり、事象の大きさがべき乗則に従う性質。

なだれの大きさ

このツールでは、1粒落としてから山が止まるまでに粒が滑った総回数。

指数 τ

大きさ s のなだれの頻度が s^−τ に比例するときの τ。両対数の密度グラフの傾きの絶対値。

オスロ模型

崩れるたびに各地点のしきい値を1か2にランダムに引き直す1次元の米粒山モデル(Christensen ら、1996)。

よくある質問