이중 진자 시뮬레이터베타

이중 진자 시뮬레이터 소개

이 도구는 이중 진자 하나가 아니라 최대 1,000개를 동시에 계산한다. 모두 같은 θ₁에서 출발하지만 i번째 진자는 아래 팔 각도 θ₂에 i × (초기 각도 차이)만큼을 더해 둔다. 기본값은 진자 100개, θ₁ = 126°, θ₂ = 149°, 차이 10⁻⁶ rad이다. 가장 끝 진자라도 첫 진자와 약 10⁻⁴ rad(0.006°) 차이밖에 없어서 처음 몇 초 동안은 한 개처럼 겹쳐 보인다.

운동 방정식은 질량이 끝에 모인 두 막대 진자의 표준 라그랑주 방정식이고, 매 프레임(1/60초)을 8번의 4차 룽게-쿠타(RK4) 단계로 나눠 적분한다. 마찰이 없으므로 에너지 그래프는 거의 평평해야 하며, 실제로 코드 테스트는 100초 동안 에너지 변화가 0.01% 미만인지 확인한다. 반면 갈라짐 그래프(끝 추 x좌표의 표준편차, 단위 m)는 어느 순간 급격히 솟는다. 이 두 그래프의 대비가 이 시뮬레이션이 보여 주려는 핵심이다.

관찰 실험 1: 차이를 1,000분의 1로 줄이면 얼마나 버티나

초기 각도 차이 슬라이더만 −3, −6, −9, −12로 바꿔 가며 다시 시작해 보자. 같은 방정식을 두 진자 한 쌍으로 따로 계산해 보니, 끝 추의 x좌표가 10cm 이상 벌어지는 시각은 차이가 10⁻³ rad일 때 약 4.3초, 10⁻⁶일 때 7.3초, 10⁻⁹일 때 10.3초, 10⁻¹²일 때 14.7초였다.

초기 오차를 1,000배 줄일 때마다 얻는 시간은 약 3초로 거의 일정하다. 오차가 시간에 따라 지수적으로(e^{λt}) 커진다는 뜻이고, ln(1000)/3 ≈ 2.3이므로 이 조건에서 λ는 초당 2 안팎이다. 측정 정밀도를 백만 배 높여도 예측 가능한 시간은 몇 초 늘어날 뿐이라는 점이 카오스의 실질적인 의미다. 화면의 앙상블은 가장 먼 진자가 차이의 99배에서 출발하므로 위 숫자보다 조금 일찍 흩어진다.

관찰 실험 2: 카오스가 사라지는 작은 각도

θ₁ = θ₂ = 10°로 두면 120초를 돌려도 진자들이 흩어지지 않는다. 30°에서도 마찬가지였다. 작은 각도에서는 sinθ ≈ θ가 성립해 방정식이 선형에 가까워지고, 운동은 두 정상 모드의 합이 된다. 두 팔 길이 1m, 질량이 같을 때 정상 모드의 각진동수는 ω² = (g/l)(2 ± √2)이므로 주기는 약 2.62초(두 팔이 같은 방향)와 1.09초(반대 방향)다. 이 두 주기의 비가 무리수라 운동은 반복되지 않지만(준주기 운동), 초기 오차가 커지지는 않는다.

θ₁ = θ₂ = 90°로 올리면 약 18초 만에 흩어진다. 기본값인 126°/149°는 아래 팔이 쉽게 뒤집히는 고에너지 상태라 더 빨리 갈라진다. 그러니 「이중 진자는 카오스다」보다 「에너지가 충분한 이중 진자는 대부분 카오스다」가 정확한 말이다.

관찰 실험 3: 질량비와 길이비

질량비는 아래 추 질량(위 추는 1kg 고정), 길이비는 아래 팔 ÷ 위 팔이다. 길이비를 바꿔도 두 팔 길이 합은 2m로 유지된다. 질량비를 0.05처럼 아주 작게 하면 위 팔은 거의 단진자처럼 규칙적으로 흔들리고, 가벼운 아래 추만 그 위에서 이리저리 휘둘린다. 기본 각도와 차이 10⁻⁶ rad로 계산해 보면 아래 추는 약 11.9초, 위 팔 끝은 약 14.7초에 10cm 이상 벌어졌다. 가벼운 추가 위 팔을 거의 끌어당기지 못해 위 팔이 조금 더 오래 버틴다.

중력 슬라이더는 시간 척도만 바꾼다. g를 4배로 하면 모든 움직임이 2배 빨라지므로, 같은 시작 각도에서 흩어지는 시각도 약 절반이 된다. 무늬의 모양은 같다.

에너지가 일정한데 왜 예측할 수 없나

에너지 보존은 가능한 상태를 좁혀 줄 뿐, 그 안에서 어디에 있을지는 알려 주지 않는다. 기본값의 역학적 에너지는 약 19.9 J(피벗 기준)이고, 100개 진자 모두 이 값에 거의 같다. 그래도 몇 초 뒤 이들은 에너지가 같은 서로 다른 자세에 흩어져 있다. 결정론(같은 입력이면 같은 출력)과 예측 가능성(비슷한 입력이면 비슷한 출력)은 다른 개념이다.

실제 실험에서도 이 성질이 측정됐다. Shinbrot 등(1992)은 실제 이중 진자의 초기 오차가 λ = 7.5 ± 1.5 s⁻¹로 커진다고 보고했다. 이 도구의 1m 팔보다 짧은 장치였고, λ는 대략 √(g/l)에 비례하므로 짧은 진자일수록 값이 크다.

이 시뮬레이션이 단순화한 것

막대는 질량이 없고 추는 점 질량이다. 실제 이중 진자는 막대 자체의 관성 모멘트가 커서 방정식 계수가 다르다. 공기 저항과 축 마찰이 없어서 영원히 멈추지 않는다. 컴퓨터의 배정밀도 계산도 매 단계 10⁻¹⁶ 수준의 반올림 오차를 만들므로, 10⁻¹² rad 같은 극소 차이에서는 흩어지는 시각 자체가 적분 방법에 따라 조금 달라질 수 있다. 흩어진다는 결론은 달라지지 않는다.

예시

사용 방법

1. 진자 개수(1·3·100·1000개)를 고르고, 추를 끌거나 θ₁·θ₂ 슬라이더로 시작 자세를 정한다.
2. 초기 각도 차이(10^x rad)를 정하면 자동으로 다시 시작된다.
3. 에너지와 갈라짐 수치를 보며 언제 흩어지는지 기록한다. 속도를 0.1×로 낮추면 갈라지는 순간을 자세히 볼 수 있다.

자주 묻는 질문

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