Simulador de Péndulo DobleBeta

Acerca de Simulador de Péndulo Doble

Este simulador no calcula un péndulo doble, sino hasta 1.000 a la vez. Todos parten del mismo ángulo superior θ₁, pero el péndulo número i empieza con su ángulo inferior θ₂ desplazado i veces la diferencia inicial. Con los valores por defecto (100 péndulos, θ₁ = 126°, θ₂ = 149°, diferencia de 10⁻⁶ rad) los dos más distintos arrancan separados unos 10⁻⁴ rad, unas seis milésimas de grado. Durante los primeros segundos parecen un único péndulo dibujado con trazo grueso.

Las ecuaciones de movimiento son las lagrangianas estándar de dos varillas sin masa con masas puntuales en los extremos. Cada fotograma de 1/60 s se divide en ocho pasos de Runge–Kutta de cuarto orden (RK4). No hay rozamiento, así que la lectura de energía debería quedarse plana; la propia prueba del motor comprueba que la energía varía menos de un 0,01 % en 100 segundos. La divergencia, que es la desviación típica de la posición horizontal de las masas inferiores en metros, hace lo contrario: se queda casi en cero y de pronto se dispara. Ese contraste entre una energía que se conserva y una dispersión que explota es lo que la página quiere enseñar.

Experimento 1: lo que compra mil veces más precisión

Reinicia con el control de diferencia en −3, −6, −9 y −12. Integrando las mismas ecuaciones para una sola pareja de péndulos con los ángulos por defecto, se obtiene cuándo sus masas inferiores se separaban 10 cm en horizontal: con 10⁻³ rad, unos 4,3 s; con 10⁻⁶, 7,3 s; con 10⁻⁹, 10,3 s; con 10⁻¹², 14,7 s.

Cada mejora de mil veces en la precisión inicial solo añade unos tres segundos. Es la huella del crecimiento exponencial del error, δ(t) ≈ δ₀e^{λt}: como ln(1000) ≈ 6,9, tres segundos por cada factor mil significa que λ vale algo más de 2 por segundo. Medir un millón de veces mejor alarga la predicción apenas unos segundos, y eso es, en la práctica, la «dependencia sensible de las condiciones iniciales». El conjunto en pantalla se dispersa un poco antes que la pareja, porque su péndulo más externo empieza 99 diferencias más lejos.

Experimento 2: las oscilaciones pequeñas no son caóticas

Pon θ₁ = θ₂ = 10°. Ni tras 120 segundos simulados se separan los péndulos, y lo mismo ocurrió a 30°. Con ángulos pequeños sen θ ≈ θ, las ecuaciones son casi lineales y el movimiento es una suma de dos modos normales. Con masas iguales y brazos de 1 m, ω² = (g/l)(2 ± √2), es decir, periodos de unos 2,62 s (brazos en fase) y 1,09 s (en oposición). Su cociente es irracional, así que el movimiento nunca se repite exactamente, pero un error pequeño sigue siendo pequeño: es movimiento cuasiperiódico, no caos.

Sube ambos ángulos a 90° y el grupo se deshace hacia los 18 segundos. El arranque por defecto, 126°/149°, tiene energía suficiente para que el brazo inferior dé la vuelta completa, y se separa aún antes. Lo correcto no es decir «el péndulo doble es caótico», sino «con energía suficiente, el péndulo doble es caótico para casi cualquier posición inicial».

Experimento 3: masas, longitudes y gravedad

La relación de masas fija la masa inferior mientras la superior sigue en 1 kg. La relación de longitudes es brazo inferior entre brazo superior, y la longitud total se mantiene en 2 m. Con una relación de masas de 0,05 el brazo superior se comporta casi como un péndulo simple y la masa inferior, ligera, sale despedida por debajo; con los ángulos por defecto y 10⁻⁶ rad de diferencia, las masas inferiores se separan 10 cm hacia los 11,9 s y los brazos superiores aguantan hasta unos 14,7 s, porque la masa ligera apenas tira de ellos.

La gravedad solo cambia la escala de tiempo. Si multiplicas g por cuatro, todo va el doble de rápido y el conjunto se dispersa en la mitad de tiempo. Las formas son idénticas.

Por qué energía constante no significa predecible

La conservación de la energía dice qué estados están permitidos, no en cuál estarás. Con los valores por defecto la energía mecánica es de unos 19,9 J (tomando el pivote como referencia) y los 100 péndulos tienen prácticamente ese valor. Unos segundos después están repartidos en posturas totalmente distintas con la misma energía. Determinista (misma entrada, misma salida) y predecible (entradas parecidas, salidas parecidas) son propiedades distintas, y este sistema tiene la primera sin la segunda.

Los aparatos reales se comportan igual. Shinbrot, Grebogi, Wisdom y Yorke (1992) midieron el crecimiento de la incertidumbre en un péndulo doble físico y obtuvieron un exponente λ = 7,5 ± 1,5 por segundo. Su péndulo era más pequeño que los brazos de 1 m de esta simulación, y como la tasa escala aproximadamente con √(g/l), los péndulos cortos divergen más rápido.

Lo que el modelo simplifica

Las varillas no tienen masa y las masas son puntuales; un péndulo doble real hecho de barras tiene mucha inercia de rotación y otros coeficientes. No hay rozamiento del aire ni de los ejes, así que nunca se detiene. La aritmética de doble precisión introduce redondeos del orden de 10⁻¹⁶ en cada paso, de modo que con diferencias tan pequeñas como 10⁻¹² rad el instante exacto de separación depende un poco del método de integración. Que se separan, no.

Ejemplos

Cómo se usa

1. Elige 1, 3, 100 o 1000 péndulos y fija la postura inicial arrastrando una masa o con los controles θ₁ y θ₂.
2. Elige la diferencia inicial (10^x rad); la simulación se reinicia sola.
3. Observa la energía y la divergencia. Baja la velocidad a 0,1× para ver con detalle el momento de la separación.

Preguntas frecuentes

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