Simulador de Gravedad N-CuerposBeta

Acerca de Simulador de Gravedad N-Cuerpos

Este simulador suma la gravedad de Newton entre todas las parejas de cuerpos que hay en pantalla, sin aproximaciones de árbol ni de rejilla (suma directa: el coste crece con el cuadrado del número de cuerpos). Posiciones y velocidades avanzan con Verlet de velocidad en su forma kick-drift-kick. Primero se da a cada velocidad medio paso de aceleración, luego se mueve cada posición un paso completo, se recalculan las fuerzas en las nuevas posiciones y se aplica la segunda mitad del impulso.

El indicador Deriva de energía compara la energía total actual (cinética más potencial gravitatoria) con la que tenía el sistema al empezar. Cuando solo actúa la gravedad, esa cantidad no debería cambiar nunca, así que lo que marque el indicador es error de integración. La referencia se reinicia cada vez que dos cuerpos se fusionan o añades uno nuevo.

Las unidades son de juego: una estrella como el Sol tiene masa 4000 y la constante gravitatoria vale 100 por defecto. La forma de las órbitas y las leyes de conservación se comportan como en la realidad, pero los segundos y las masas de la pantalla no se pueden traducir a valores astronómicos.

Por qué con el método de Euler los planetas se escapan

El integrador más sencillo, Euler explícito, actualiza la posición con la velocidad actual y la velocidad con la aceleración actual, las dos a la vez. En una órbita elíptica añade un poco de energía en cada vuelta. Todos sus errores van en el mismo sentido, así que se acumulan en lugar de compensarse.

Con números se ve claro. Tomemos GM = 1 y un cuerpo que sale a distancia 1 con velocidad tangencial 0,8 (excentricidad 0,36, periodo de unos 3,96), integrado con dt = 0,01. Con Euler la energía sube un 22,9% tras una órbita, un 57% tras diez y un 89% tras cien. La órbita se hincha vuelta a vuelta y el cuerpo acaba escapando. Con kick-drift-kick y las mismas condiciones, el error nunca pasa del 0,021% en ningún instante, y ese tope no crece en cien órbitas.

Reducir el paso no cierra esa brecha. Los esquemas tipo Verlet son simplécticos: conservan exactamente una energía ligeramente modificada que se mantiene muy cerca de la real, de modo que el error oscila dentro de cada órbita en vez de acumularse (Hairer, Lubich y Wanner, 2003). Loup Verlet usó el método en dinámica molecular en 1967 por la misma razón. Sus simulaciones duraban cientos de miles de pasos y no podía permitir que la energía se escapara. Si pones el Integrador de esta herramienta en Euler (para comparar), verás cómo la Deriva de energía no deja de crecer y la misma órbita se desenrolla hacia fuera.

Qué hace subir la deriva

Verlet también pierde precisión si los pasos son gruesos. La herramienta divide cada fotograma de 1/60 s en subpasos, más (hasta 16) cuantos menos cuerpos haya. Al subir la Velocidad del tiempo, cada subpaso abarca más tiempo simulado. Ejecuta el preajuste Sistema solar a velocidad 1 y luego a 4, y compara el indicador de deriva.

Los peores errores aparecen en los encuentros cercanos. Como la fuerza va con 1/r², la aceleración puede cambiar muchísimo entre dos pasos cuando dos cuerpos se rozan. El suavizado (softening) sustituye r por √(r² + ε²) en la ley de fuerza y recorta ese pico. Por debajo de ε la gravedad simulada ya no es la de Newton. Si pones el suavizado a cero y lanzas un planeta rozando una estrella, puede que salga despedido a una velocidad absurda. Ese efecto honda es error numérico, no física.

Cuando un cuerpo se aleja demasiado (más allá de la coordenada 50.000) se elimina. Igual que al fusionar, fragmentar, añadir o borrar, la energía de referencia se reinicia cada vez que cambia el número de cuerpos, así que la deriva sigue midiéndose sobre los cuerpos que quedan.

El problema de los tres cuerpos y la órbita en forma de ocho

Dos cuerpos siguen órbitas de Kepler con solución exacta. Con un tercero ya no existe una fórmula general cerrada. Para la mayoría de las condiciones iniciales el movimiento es caótico, y un cambio minúsculo en las posiciones de partida acaba produciendo trayectorias totalmente distintas. Lanza tres estrellas de la misma clase a velocidades parecidas y verás a menudo que se enredan un rato, expulsan a una y las otras dos quedan como binaria más cerrada.

Aun así existen soluciones periódicas sorprendentes. En una de ellas, tres masas iguales se persiguen sobre una única curva en forma de ocho. Cristopher Moore la encontró numéricamente en 1993, y Alain Chenciner y Richard Montgomery demostraron su existencia con un argumento variacional en 2000. Las condiciones iniciales más citadas (calculadas por Carles Simó), en unidades con G = m = 1, son: dos cuerpos en (±0,97000436; ∓0,24308753), el cuerpo central con velocidad (−0,93240737; −0,86473146) y los dos exteriores con la mitad de esa velocidad en sentido contrario. El periodo es de unos 6,3259.

Al integrar esas condiciones con dt = 0,001 aparece otra vez el contraste. Con kick-drift-kick, el cuerpo central vuelve al origen tras diez periodos y el error de energía ronda el 10⁻¹¹%. Con Euler, la energía se desvía un 3% en un periodo y un 20% en diez, y el ocho se deshace. El escenario Órbita en ocho (tres cuerpos) escala estas condiciones iniciales a las unidades de la herramienta: cada estrella tiene masa M = 4000, la unidad de longitud L es 0,42 veces la mitad del lado corto de la vista (mayor en pantallas pequeñas, para que las estrellas no se toquen ni en el máximo acercamiento), las velocidades se multiplican por √(G·M/L) y el periodo pasa a ser 6,3259 × L ÷ √(G·M/L). Cambia el integrador a Euler y vuelve a cargar el escenario para ver cómo se deshace el ocho.

El modelo de choques es una aproximación

En el modo Realista, el cociente entre la energía del impacto y la energía de ligadura decide si hay fusión, roce con separación, destrucción parcial o destrucción total. Se conservan la masa, el momento lineal y el centro de masas. En cambio, el número y el tamaño de los fragmentos y los umbrales de masa para supernovas y kilonovas son decisiones de juego. Los códigos de investigación sobre formación planetaria e impactos gigantes usan métodos como la hidrodinámica de partículas suavizadas (SPH), que no es lo que hace esta herramienta.

Los choques se detectan suponiendo que los dos cuerpos se mueven en línea recta durante el subpaso y comprobando si su máximo acercamiento en ese tramo quedó por debajo de la suma de los radios (prueba del punto más cercano entre segmentos). Así, ni un cuerpo pequeño y muy rápido puede saltar por encima de otro en un subpaso. Si el choque se detecta cuando ya se han cruzado, se devuelven a la disposición del máximo acercamiento, sin mover el centro de masas, para que la dirección del impacto sea correcta.

Ejemplos

Cómo se usa

1. Carga un preajuste (Sistema solar, Estrella binaria, Disco protoplanetario, etc.) o empieza con el cielo vacío.
2. Elige un tipo de cuerpo y arrastra y suelta para lanzarlo. Un toque rápido lo coloca a velocidad de órbita circular alrededor del cuerpo más pesado.
3. Cambia la constante gravitatoria, la velocidad del tiempo, el suavizado y el integrador (Verlet de velocidades o Euler), y observa cómo responden las órbitas y la Deriva de energía.
4. Pasa a 3D para ver sistemas con planos orbitales inclinados.

Términos clave

Integrador simpléctico

Integrador que conserva el volumen del espacio de fases. Su error de energía oscila en vez de acumularse. Verlet de velocidad y leapfrog son los ejemplos clásicos.

Suavizado (ε)

Usar √(r² + ε²) en lugar de r en la ley de fuerza para que los pasos muy cercanos no den fuerzas casi infinitas.

Coreografía

Solución periódica en la que varios cuerpos recorren la misma curva cerrada, repartidos a intervalos iguales de tiempo. El ocho es el primer ejemplo famoso.

Preguntas frecuentes

Notas

En modo 2D todos los cuerpos están en el plano z = 0 y la fuerza vertical es exactamente cero. Al pasar de 3D a 2D los cuerpos se aplastan sobre ese plano y sus órbitas cambian.