Laboratorio de Transición de Fase MagnéticaBeta

Acerca de Laboratorio de Transición de Fase Magnética

Cada celda de una red cuadrada contiene un espín que solo puede apuntar hacia arriba (+1) o hacia abajo (−1). Dos vecinos alineados bajan la energía en 1; dos opuestos la suben en 1. Un campo externo h da una ventaja extra de h a los espines que apuntan en su dirección. Esa es toda la regla y, sin embargo, al enfriar la red aparece una temperatura precisa por debajo de la cual toda la red se alinea. Es el modelo más desnudo posible de un trozo de hierro que se imanta por debajo de su punto de Curie.

La temperatura T se mide en unidades donde el acoplamiento J y la constante de Boltzmann k valen 1. Los bordes se conectan con el lado opuesto (condiciones periódicas), así que la red no tiene bordes, como la superficie de una rosquilla. Puedes elegir 128², 256² o 512² espines; por defecto son 256².

La temperatura crítica exacta de Onsager

En 1944 Lars Onsager resolvió de forma exacta el modelo de Ising 2D sin campo. En la red cuadrada la transición ocurre donde sinh(2J/kTc) = 1, lo que da Tc = 2/ln(1+√2) ≈ 2,269. Esa es la marca del control de temperatura y el valor que fija el botón de ir a Tc. A esa temperatura el calor específico diverge de forma logarítmica y la energía por espín vale exactamente −√2 ≈ −1,414.

Por debajo de Tc la imanación espontánea es M = [1 − sinh⁻⁴(2/T)]^(1/8), resultado anunciado por Onsager y demostrado por C. N. Yang en 1952. Las dos líneas discontinuas de Onsager del gráfico están en +M y −M según esta fórmula. El exponente 1/8 significa que la imanación aparece de forma muy abrupta justo debajo de Tc. La teoría de campo medio predice 1/2, que es incorrecto en dos dimensiones.

Experimento 1: dominios que crecen tras un enfriamiento brusco

Reinicia en aleatorio y pon T = 1,5. Una red aleatoria corresponde a temperatura infinita, así que esto es un enfriamiento brusco. Aparecen manchas pequeñas, luego los dominios pequeños son absorbidos por los grandes y las fronteras se acortan. La teoría dice |M| ≈ 0,987, pero la lectura se queda cerca de cero un buen rato porque dominios hacia arriba y hacia abajo de tamaño parecido compiten. Con bordes periódicos a veces quedan dos franjas que cruzan toda la red y duran muchísimo: una frontera recta no tiene curvatura que la haga encoger.

Cambia a clústeres de Wolff en la misma situación y bloques enteros se invierten de una vez, así que la red se ordena rápido. Ambos algoritmos muestrean el mismo equilibrio; solo difieren en la rapidez con que llegan.

Experimento 2: manchas de todos los tamaños en Tc

Pulsa ir a Tc. A T = 2,269 se ven a la vez dominios de todos los tamaños. La longitud de correlación diverge en el punto crítico y queda un patrón de aspecto fractal sin escala característica. Metropolis tiene que invertir los dominios grandes espín a espín, así que la imagen cambia muy despacio: es la ralentización crítica. El método de Wolff une vecinos alineados con probabilidad 1 − e^(−2/T) e invierte el clúster entero. En Tc esa probabilidad es exactamente 2 − √2 ≈ 0,586. El artículo de Wolff de 1989 mostró que el método casi elimina la ralentización crítica en el Ising 2D.

Si agrandas la red de 128 a 512, |M| en Tc baja un poco. El escalado de tamaño finito dice que la imanación crítica va como L^(−1/8), así que una red cuatro veces más ancha muestra unas 4^(1/8) ≈ 1,19 veces menos. En una red infinita sería cero.

Experimento 3: un campo y un estado que se resiste a cambiar

Empieza con todo hacia arriba, T = 1,5 y h = −0,3. Todos los espines se oponen al campo y darse la vuelta sería favorable en conjunto, pero con Metropolis la red aguanta mucho tiempo. Invertir un espín dentro de la región rompe cuatro enlaces (coste 8) y solo gana 0,6 del campo; la probabilidad de aceptación es exp(−7,4/1,5) ≈ 0,007. Solo cuando una semilla hacia abajo crece lo suficiente por azar se propaga la nueva fase. Es el mismo mecanismo que el agua sobreenfriada que espera un núcleo para congelarse.

Pinta con el pincel un disco grande hacia abajo y la transición empieza en el acto. Si es pequeño, se encoge y desaparece porque su frontera cuesta más de lo que gana su interior. El tamaño que sobrevive es el núcleo crítico.

Qué dice y qué no dice el gráfico

La imanación representada lleva signo. Por debajo de Tc una red finita puede pasar de +M a −M, sobre todo con Wolff, por eso las líneas de Onsager se dibujan en +M y en −M. Por encima de Tc la teoría dice cero, pero una red finita muestra fluctuaciones pequeñas del orden de 1/L, mayores en 128² que en 512².

Ejemplos

Cómo se usa

1. Elige el estado inicial: aleatorio, todo arriba, todo abajo o mitad y mitad.
2. Mueve T y h y observa la imanación y la energía en el gráfico.
3. Alterna el método de actualización entre Metropolis y Wolff y compara la rapidez.
4. Pinta espines con el pincel para probar la nucleación y las paredes de dominio.

Preguntas frecuentes

Notas

La curva teórica corresponde a una red infinita. En una red finita la transición se redondea cerca de Tc y |M| fluctúa algo por encima de cero incluso por encima de Tc.

No existe solución exacta con campo no nulo, así que las líneas teóricas se ocultan cuando h ≠ 0.