자석 상전이 실험실베타

자석 상전이 실험실 소개

정사각 격자의 칸마다 위(+1) 또는 아래(−1)만 가리킬 수 있는 스핀이 있다. 이웃한 두 스핀이 같은 방향이면 에너지가 1 낮아지고, 반대면 1 높아진다. 외부 자기장 h가 있으면 그 방향을 향한 스핀이 h만큼 유리하다. 규칙은 이것뿐인데, 온도를 내리면 어느 순간 격자 전체가 한 방향으로 정렬하는 상전이가 일어난다. 쇠붙이가 퀴리 온도 아래에서 자석이 되는 현상을 가장 단순하게 줄인 모형이다.

여기서 온도 T는 상호작용 세기 J와 볼츠만 상수 k를 1로 둔 단위다. 격자 가장자리는 반대편과 이어져 있어(주기 경계) 도넛 표면처럼 끝이 없다. 격자는 128², 256², 512² 중에서 고를 수 있고 기본은 256²이다.

Onsager의 정확한 임계온도

1944년 라르스 온사게르는 외부 자기장이 없는 2차원 이징 모형의 분배함수를 정확히 풀었다. 정사각 격자에서 상전이는 sinh(2J/kTc) = 1인 온도에서 일어나고, 풀면 Tc = 2/ln(1+√2) ≈ 2.269다. 온도 슬라이더의 눈금 표시와 「임계온도로」 버튼이 이 값이다. 이 온도에서 비열은 로그로 발산하고, 스핀당 에너지는 정확히 −√2 ≈ −1.414가 된다.

Tc 아래의 자발 자화는 1952년 양전닝(C. N. Yang)이 증명한 식 M = [1 − sinh⁻⁴(2/T)]^(1/8)로 주어진다. 그래프의 「Onsager 이론값」 점선 두 개가 이 식의 +M과 −M이다. 지수 1/8은 Tc 바로 아래에서 자화가 매우 가파르게 생긴다는 뜻이다. 평균장 근사는 이 지수를 1/2로 예측하는데, 2차원에서는 틀린 값이다.

관찰 실험 1: 식혔을 때 도메인이 커지는 모습

초기화를 「무작위」로 하고 T = 1.5로 둔다. 무작위 상태는 무한히 높은 온도에 해당하므로, 이것은 갑작스러운 냉각이다. 처음에는 작은 얼룩이 생기고, 시간이 지나며 작은 도메인이 큰 도메인에 먹혀 경계가 짧아진다. 이론값은 |M| ≈ 0.987이지만 화면의 M은 한동안 0 근처에 머문다. 위와 아래 도메인이 비슷한 넓이로 경쟁하기 때문이다. 주기 경계에서는 가끔 격자를 가로지르는 띠 두 개가 생겨 오래 버틴다. 도메인 경계를 없애려면 경계 전체가 움직여야 하는데, 곧은 띠 경계는 줄어들 이유가 없다.

같은 상황에서 울프 클러스터로 바꾸면 커다란 덩어리가 한 번에 뒤집히며 금방 한 방향으로 정렬한다. 두 알고리즘이 도달하는 평형은 같고 속도만 다르다.

관찰 실험 2: 임계점의 모든 크기의 얼룩

「임계온도로」를 누르면 T = 2.269에서 크고 작은 도메인이 동시에 보인다. 임계점에서는 상관 길이가 무한대로 발산해 특정 크기가 없는 프랙털 같은 무늬가 된다. 이때 메트로폴리스 방식은 큰 도메인을 한 칸씩 뒤집어야 해서 무늬가 매우 느리게 변한다(임계 감속). 울프 방법은 같은 방향 이웃을 확률 1 − e^(−2/T)로 묶어 클러스터째 뒤집는데, Tc에서 이 확률은 정확히 2 − √2 ≈ 0.586이다. 울프가 1989년 논문에서 보고했듯 이 방식은 임계 감속을 거의 없앤다.

격자 크기를 128에서 512로 키우면 Tc에서 |M|이 조금 작아진다. 유한 크기 척도 이론에 따르면 임계점의 자화는 L^(−1/8)에 비례하므로, 한 변이 4배가 되면 약 4^(1/8) ≈ 1.19분의 1로 줄어든다. 무한 격자라면 0이다.

관찰 실험 3: 자기장과 준안정 상태

「모두 ↑」로 시작하고 T = 1.5, h = −0.3으로 둔다. 모든 스핀이 자기장과 반대 방향이라 뒤집히는 게 유리하지만, 메트로폴리스에서는 한동안 거의 그대로 버틴다. 스핀 하나를 뒤집으면 이웃 4개와의 결합 에너지 8을 잃고 자기장에서 0.6만 얻기 때문이다. 수용 확률은 exp(−7.4/1.5) ≈ 0.007이다. 아래 방향의 씨앗이 우연히 충분히 커져야 그때부터 번져 나간다. 과냉각된 물이 핵이 생겨야 얼기 시작하는 것과 같은 구조다.

붓으로 ↓ 원을 크게 칠해 주면 전이가 즉시 시작된다. 작은 원은 표면 에너지 때문에 다시 사라진다. 이렇게 살아남는 최소 크기를 임계 핵 크기라 한다.

예시

사용 방법

1. 초기 상태(무작위, 모두 ↑, 모두 ↓, 반반)를 고른다.
2. 온도 T와 자기장 h를 움직이고, 그래프에서 자화와 에너지의 변화를 본다.
3. 갱신 방법을 메트로폴리스와 울프 사이에서 바꿔 속도를 비교한다.
4. 붓으로 스핀을 직접 칠해 핵 생성이나 도메인 경계를 실험한다.

자주 묻는 질문

참고

이론 곡선은 무한 격자의 값이다. 유한 격자에서는 Tc 근처에서 곡선보다 둥글게 변하고, Tc 위에서도 |M|이 0이 아닌 작은 값으로 요동한다.

외부 자기장이 있을 때의 정확한 해는 알려져 있지 않아, h ≠ 0이면 이론 점선이 표시되지 않는다.