Placa de ChladniBeta

Acerca de Placa de Chladni

Esta herramienta calcula la amplitud sobre una placa cuadrada de lado 1 como A(x, y) = cos(nπx)·cos(mπy) ± cos(mπx)·cos(nπy). En cada fotograma, cada grano de arena salta una distancia aleatoria en una dirección aleatoria, con un tamaño de salto proporcional a |A| en su posición. Los granos de las zonas que vibran mucho son expulsados una y otra vez; los que caen en una línea nodal, donde A = 0, se quedan quietos. Con el tiempo, la arena dibuja las líneas nodales.

El valor |A| de la línea de estadísticas es el promedio de |A| en la posición de todos los granos. Justo después de esparcir la arena de forma uniforme ronda 0,58 en cualquier modo y baja hacia cero a medida que se forma la figura. Sirve como indicador de cuánto le falta al patrón.

Las placas de Chladni, el premio de Napoleón y Sophie Germain

En su libro de 1787 Entdeckungen über die Theorie des Klanges (Descubrimientos sobre la teoría del sonido), Ernst Chladni frotó con un arco de violín el borde de placas metálicas y registró decenas de figuras trazadas por la arena esparcida encima. Suele considerarse la primera forma sistemática de ver el sonido. Tras una demostración en París en 1808, Napoleón pidió que se premiara una explicación matemática, y en 1809 la Academia de Ciencias planteó el reto: dar la teoría matemática de la vibración de una superficie elástica y compararla con la experiencia.

Lagrange comentó que resolverlo exigiría una nueva rama del análisis, y casi nadie se presentó. Sophie Germain sí. Su primera memoria, en 1811, fue juzgada sin las verdaderas ecuaciones del movimiento. La segunda, en 1813, solo obtuvo una mención honorífica por errores matemáticos. La tercera ganó el premio el 8 de enero de 1816, y ella fue la primera mujer premiada por la Academia de París. Aun así, las condiciones de contorno en el borde de la placa seguían siendo incorrectas. Gustav Kirchhoff las corrigió en 1850 al demostrar que un borde libre solo admite dos condiciones, y el primer cálculo, aunque aproximado, de las figuras reales de una placa cuadrada con bordes libres lo hizo Walther Ritz en 1909, en uno de los primeros usos de lo que hoy se llama método de Ritz.

En qué se diferencia esta fórmula de una placa real

Un producto como cos(nπx)cos(mπy) tiene pendiente nula en los bordes. Una placa de Chladni real, sujeta en el centro y libre en todo el contorno, exige en cambio que el momento flector y el esfuerzo cortante se anulen en el borde, y las soluciones de ese problema no son cosenos simples. Por eso las figuras de esta herramienta comparten el carácter general de las reales, como sus simetrías y la forma en que se multiplican las líneas nodales con el modo, pero la posición exacta y la curvatura de las líneas no coinciden.

Se suman o restan dos términos por la simetría del cuadrado. Los modos (n, m) y (m, n) tienen la misma frecuencia (están degenerados), así que la placa vibra con una mezcla de ambos. Con el signo menos, intercambiar x e y cambia el signo de A, de modo que A se anula sobre la diagonal x = y: la diagonal siempre es línea nodal. Con n = m y signo menos la placa entera valdría cero, así que la herramienta cambia a más automáticamente.

La frecuencia que se muestra es 60 Hz × (n² + m²) / 2, una escala relativa que fija el modo (1, 1) en 60 Hz. En una placa delgada, la rigidez a flexión hace que la frecuencia crezca con el cuadrado del número de onda (ω ∝ k²), así que duplicar n y m multiplica la frecuencia por cuatro. En una membrana, como el parche de un tambor, solo se duplicaría. Las frecuencias reales en hercios dependen del espesor, el material y el tamaño, así que los números de la pantalla no se trasladan a ninguna placa concreta.

La arena va a los nodos, el polvo fino a los vientres

Acumularse en las líneas nodales es lo que hace la arena pesada y gruesa. En 1831 Michael Faraday describió que los polvos muy ligeros, como el licopodio, hacen lo contrario y forman montoncitos en los vientres, las zonas que más se mueven. Lo atribuyó al aire: sobre las zonas que vibran se forman pequeños remolinos que atrapan el polvo ligero, mientras que la arena, más pesada, sale despedida a través de ellos. Esta herramienta no simula el aire, así que todos los granos se comportan como arena pesada.

El movimiento de los granos también es una regla resumida y no física. La arena real solo se despega cuando la aceleración hacia arriba de la placa supera g, y resbala según la inclinación local. Aquí la distancia del salto es proporcional a |A| y el salto máximo se divide entre el mayor de n y m, porque las líneas nodales se acercan en los modos altos. El resultado final, arena sobre las líneas nodales, es el mismo, pero la rapidez con que se forma la figura o su nitidez no dicen nada del amortiguamiento ni de la fuerza de excitación de una placa real.

Ejemplos

Cómo se usa

1. Pulsa un preajuste de frecuencia o elige n, m y el signo.
2. Ajusta la intensidad de vibración y el número de granos.
3. Activa el mapa de amplitud para comprobar que las líneas de arena caen en el límite entre las zonas roja y azul.
4. Vuelve a esparcir la arena para ver cómo se forma la figura desde cero.

Preguntas frecuentes