클라드니 도형베타

클라드니 도형 소개

이 도구는 한 변의 길이를 1로 둔 정사각형 판 위의 진폭을 A(x, y) = cos(nπx)·cos(mπy) ± cos(mπx)·cos(nπy) 로 계산한다. 모래 알갱이는 매 프레임 자기 자리의 |A|에 비례하는 거리만큼 아무 방향으로나 튄다. 많이 흔들리는 곳의 알갱이는 계속 쫓겨나고, A = 0인 마디선에 떨어진 알갱이만 제자리에 머무르므로 시간이 지나면 모래가 마디선을 따라 선을 그린다.

화면 아래 통계의 |A|는 모든 알갱이 위치에서 잰 |A|의 평균이다. 모래를 고르게 뿌린 직후에는 어느 모드든 약 0.58이고, 무늬가 완성될수록 0에 가까워진다. 무늬가 얼마나 다 그려졌는지 보여 주는 숫자로 쓰면 된다.

1787년 클라드니의 판과 나폴레옹의 현상금

에른스트 클라드니는 1787년 『음향 이론에 관한 발견』에서 금속판 가장자리를 바이올린 활로 긁어 울리고, 판 위에 뿌린 모래가 그리는 무늬를 수십 가지 기록했다. 소리를 눈으로 본 최초의 체계적 기록으로 꼽힌다. 1808년 파리에서 이 시연을 본 나폴레옹은 이 현상을 수학적으로 설명하는 사람에게 상을 주도록 했고, 과학 아카데미는 1809년 「탄성 표면의 진동을 수학적으로 설명하고 실험과 비교하라」는 현상 과제를 냈다.

라그랑주가 이 문제를 풀려면 새로운 해석학 분야가 필요하다고 말한 뒤 응모자는 거의 없었다. 소피 제르맹은 1811년 첫 응모에서 운동 방정식이 제대로 세워지지 않았다는 평을 받았고, 1813년 두 번째 응모는 계산 오류로 가작에 그쳤다. 세 번째 논문이 1816년 1월 8일 대상을 받아, 그녀는 파리 아카데미 상을 받은 첫 여성이 되었다. 그러나 판 가장자리의 경계 조건은 여전히 잘못되어 있었고, 1850년 키르히호프가 자유 가장자리에는 조건이 두 개만 걸린다는 것을 밝히면서 판 이론이 바로잡혔다. 가장자리가 자유로운 정사각형 판의 실제 무늬를 근사적으로라도 계산한 것은 1909년 발터 리츠가 처음이다.

이 시뮬레이션의 식이 실제 판과 다른 점

코사인 곱 cos(nπx)cos(mπy)는 가장자리에서 기울기가 0이 되는 모양이다. 클라드니가 쓴 가운데를 고정하고 가장자리를 풀어 둔 판은 휨 모멘트와 전단력이 가장자리에서 0이 되는 조건을 따르며, 그 해는 이런 단순한 코사인으로 쓰이지 않는다. 그래서 이 도구의 무늬는 실제 판 무늬와 전체적인 성격(대칭, 마디선 수가 늘어나는 방식)은 닮았지만 선의 정확한 위치와 휘어진 정도는 다르다.

두 항을 더하거나 빼는 이유는 정사각형의 대칭 때문이다. (n, m)과 (m, n) 모드는 진동수가 같아서(겹침, 축퇴) 판은 둘을 섞은 모양으로 떤다. 빼기(−)를 고르면 x와 y를 바꾸었을 때 A의 부호가 뒤집히므로 대각선 x = y 위에서 A = 0이 되어, 대각선이 반드시 마디선이 된다. n = m이면서 빼기면 판 전체가 0이 되므로 도구가 자동으로 더하기로 바꾼다.

표시된 주파수는 60Hz × (n² + m²) / 2로, (1, 1) 모드를 60Hz로 잡은 상대값이다. 얇은 판은 휨 강성 때문에 진동수가 파수의 제곱에 비례하므로(ω ∝ k²) n과 m을 둘 다 두 배로 하면 주파수는 네 배가 된다. 막(드럼 가죽)이라면 두 배에 그친다. 실제 금속판의 헤르츠 값은 두께, 재질, 크기로 정해지므로 화면의 숫자를 특정 판에 그대로 옮길 수는 없다.

모래는 마디로, 가루는 배로

알갱이가 마디선에 모이는 것은 무겁고 굵은 모래 이야기다. 1831년 패러데이는 석송 가루처럼 아주 가볍고 고운 가루는 반대로 가장 세게 흔들리는 배(antinode) 쪽에 작은 더미로 모인다는 것을 보고했고, 가벼운 가루가 진동하는 부분 위 공기에 생기는 작은 소용돌이에 붙잡히는 반면 무거운 모래는 그 소용돌이를 뚫고 튕겨 나간다고 설명했다. 이 도구는 공기를 다루지 않으므로 모든 알갱이가 무거운 모래처럼 움직인다.

알갱이의 움직임 자체도 물리 법칙이 아니라 요약 규칙이다. 실제 모래는 판이 가속도 g보다 세게 위로 튀어 오를 때만 떠오르고, 판의 기울기를 따라 미끄러진다. 여기서는 튀는 거리를 |A|에 비례시키고, 모드가 높을수록 마디 간격이 좁아지므로 최대 이동 거리를 max(n, m)로 나눈다. 모래가 모이는 최종 위치(마디선)는 같지만, 무늬가 생기는 속도나 모양의 선명도로 실제 판의 감쇠나 진동 세기를 추정할 수는 없다.

예시

사용 방법

1. 주파수 프리셋을 누르거나 n, m과 부호를 직접 고른다.
2. 진동 세기와 알갱이 수를 조절한다.
3. 진폭 분포를 켜서 빨강·파랑 영역의 경계와 모래 선이 겹치는지 본다.
4. 모래 다시 뿌리기로 무늬가 생기는 과정을 처음부터 다시 본다.

자주 묻는 질문