Tablero de GaltonBeta

Acerca de Tablero de Galton

Un tablero de Galton deja caer bolas entre filas de clavos al tresbolillo hasta unas casillas en la base. En cada fila la bola roza un clavo y se desvía a la izquierda o a la derecha; tras n filas cae en la casilla k, donde k es el número de desvíos a la derecha. Si cada desvío es un 50/50 justo e independiente, la probabilidad de la casilla k es la binomial C(n,k)/2ⁿ. Francis Galton describió el aparato, que llamó quincunx, con una ilustración en Natural Inheritance (1889), para mostrar cómo muchos pequeños azares se suman en una campana.

Esta simulación nunca lanza monedas. Las bolas las mueve un motor físico que calcula la gravedad y los choques con los clavos, y la izquierda o la derecha salen de diferencias mínimas en el punto de caída, de un empujón aleatorio diminuto en cada contacto con un clavo y del caos de los choques repetidos. Por eso compararla con la binomial es un experimento y no una conclusión dada: el resultado dice si los desvíos son de verdad 50/50 e independientes.

De la binomial a la normal

Tras n filas, el número de casilla k sigue una binomial de media n/2 y varianza n/4. Con las 12 filas por defecto, la media es la casilla 6 y la desviación típica √3 ≈ 1,73 casillas. La casilla central tiene probabilidad C(12,6)/4096 = 924/4096 ≈ 22,6 %, mientras que cada extremo tiene 1/4096: con 3.000 bolas se esperan 0,7 bolas en cada uno.

El teorema central del límite dice que la suma de muchos pasos pequeños e independientes tiende a una distribución normal. La posición final de una bola es la suma de n pasos de ±½ casilla, así que cuanto mayor es n, más se parece el montón a la curva normal. Activa las dos curvas superpuestas y cambia el número de filas. Con 4 filas la casilla central vale 0,375 en la binomial frente a 0,399 en la aproximación normal, más de un 6 % de diferencia. Con 24 filas son 0,1612 frente a 0,1629, alrededor del 1 %.

Experimento 1: rebote y casillas saltadas

En un tablero real la bola no siempre cae limpia sobre el clavo vecino de la fila siguiente. Si rebota con fuerza puede saltarse una fila o seguir deslizándose hacia el mismo lado varias filas. Entonces las decisiones sucesivas dejan de ser independientes y la varianza se aparta de n/4. Sube el rebote (coeficiente de restitución) de 0,35 a 0,7, suelta otra vez 3.000 bolas y compara la varianza con la teoría. Bájalo a 0,1 y las bolas se pegan a los clavos y bajan columna a columna, más cerca de la binomial ideal. El tamaño exacto del efecto depende de la geometría del tablero, así que léelo en el panel de estadísticas en lugar de esperar un número fijo.

Experimento 2: ¿de dónde sale el azar?

Pon la variación de caída en 0 y todas las bolas salen exactamente del mismo punto con la misma velocidad. Aun así aparece dispersión, por dos razones. Cada contacto con un clavo añade un empujón lateral diminuto para que ninguna bola se quede en equilibrio para siempre sobre un clavo, y los choques forman un sistema caótico que amplifica pequeñas diferencias en cada fila. En un tablero físico, las imperfecciones de la superficie y las corrientes de aire hacen el mismo papel. Que una mecánica determinista produzca resultados con aspecto de azar es lo que mantiene interesante el aparato de Galton.

Cómo leer la chi cuadrado

La herramienta usa solo las casillas con frecuencia esperada de al menos 5 y calcula χ² = Σ(observado − esperado)²/esperado. Si las bolas siguen de verdad la binomial, χ² oscila alrededor del número de grados de libertad. Con 12 filas y 3.000 bolas entran las casillas 1 a 11, once en total. Como el total está fijado se pierde un grado de libertad, así que hay 10 grados de libertad, y la herramienta muestra el número de casillas menos uno, 10. Con 10 grados de libertad el valor crítico al 5 % es 18,31. Una χ² muy por encima sugiere que el modelo 50/50 independiente no encaja con la configuración actual.

El tablero de dos etapas de Galton

Natural Inheritance muestra también una variante en la que las bolas se detienen a media altura en compartimentos intermedios y luego se liberan para seguir cayendo. Galton la usó para argumentar que una normal de normales sigue siendo normal y para explicar la regresión a la media entre padres e hijos. Aquí puedes imitar la primera mitad: pulsa sobre el lienzo para soltar bolas desde un punto descentrado y el montón se desplaza a ese punto conservando la misma forma binomial.

Ejemplos

Cómo se usa

1. Fija el número de filas de clavos y de bolas (cambiar cualquiera reinicia la caída).
2. Ajusta el rebote y la variación de caída y mira cómo se llenan las casillas.
3. Compara las curvas binomial y normal, y la media, la varianza y la chi cuadrado con la teoría.
4. Pulsa sobre el lienzo para soltar bolas extra desde cualquier punto.

Preguntas frecuentes

Notas

Cada contacto con un clavo incluye un empujón aleatorio diminuto para que las bolas no se queden en equilibrio. Parte del azar viene de esa regla.

Hay resistencia del aire y un tope de velocidad, así que las bolas rebotan menos que en un tablero de madera típico.