갈톤 보드베타

갈톤 보드 소개

갈톤 보드는 엇갈리게 박힌 핀 사이로 공을 떨어뜨려 아래 칸에 쌓는 장치다. 공은 줄마다 핀 하나에 부딪혀 왼쪽이나 오른쪽으로 비껴 가고, n줄을 지나면 오른쪽으로 간 횟수 k에 따라 k번째 칸에 들어간다. 매 줄의 선택이 반반이고 서로 독립이라면 k번째 칸에 들어갈 확률은 이항분포 C(n,k)/2ⁿ이다. 프랜시스 골턴은 1889년 『Natural Inheritance』에서 이 장치(퀸컹스)를 그림과 함께 설명하며, 작은 우연이 여러 번 더해지면 종 모양 분포가 된다는 것을 보여 주었다.

이 시뮬레이션은 동전을 던지지 않는다. 공은 중력과 핀 충돌을 계산하는 물리 엔진으로 움직이고, 왼쪽·오른쪽은 투입 위치의 미세한 차이, 핀에 닿을 때마다 더하는 아주 작은 무작위 옆 힘, 그리고 충돌의 혼돈에서 정해진다. 그래서 이론 이항분포와 비교해 보는 것 자체가 실험이 된다. 공이 반반으로 갈리는가, 줄마다 독립인가를 결과로 확인하는 것이다.

이항분포에서 정규분포로

n줄을 지난 공의 칸 번호 k는 평균 n/2, 분산 n/4인 이항분포를 따른다. 기본값 12줄이면 평균은 6번 칸, 표준편차는 √3 ≈ 1.73칸이다. 가운데 칸 확률은 C(12,6)/4096 = 924/4096 ≈ 22.6%이고, 맨 끝 칸은 1/4096로 3,000개를 떨어뜨려도 평균 0.7개밖에 들어가지 않는다.

중심극한정리는 독립인 작은 변화를 많이 더하면 그 합이 정규분포에 가까워진다고 말한다. 공의 최종 위치는 ±½ 칸 이동 n개의 합이므로 n이 클수록 정규분포 곡선과 맞아 간다. 도구의 두 선(이항, 정규)을 켜고 줄 수를 바꿔 보면 차이가 보인다. 4줄에서 가운데 칸은 이항 0.375, 정규 근사 0.399로 6% 넘게 어긋나지만, 24줄에서는 0.1612와 0.1629로 1% 정도만 다르다.

관찰 실험 1: 반발 계수와 공이 건너뛰는 칸

진짜 갈톤 보드에서 공은 핀 하나에 맞고 바로 아래 줄의 이웃 핀으로만 가지 않는다. 튕김이 크면 한 줄을 건너뛰거나 같은 방향으로 연달아 미끄러진다. 이렇게 되면 줄마다의 선택이 독립이 아니게 되어 분산이 n/4에서 벗어난다. 튕김(반발 계수)을 0.35에서 0.7로 올리고 3,000개를 다시 떨어뜨린 뒤 「분산」과 이론값을 비교해 보라. 반대로 0.1로 낮추면 공이 핀에 착 붙어 한 칸씩 내려가 이항분포에 더 가깝게 움직인다. 결과는 보드 크기와 설정에 따라 달라지므로, 실제 값은 도구의 통계 칸에서 확인한다.

관찰 실험 2: 무작위는 어디서 오는가

투입 흔들림을 0으로 두면 모든 공이 정확히 같은 위치, 같은 속도로 출발한다. 그래도 분포가 생기는 이유는 두 가지다. 핀에 닿을 때마다 아주 작은 가로 흔들림이 더해지고(핀 꼭대기에서 영원히 균형을 잡는 것을 막기 위한 처리), 핀 충돌은 작은 차이를 줄마다 크게 키우는 혼돈계이기 때문이다. 실제 장치에서도 공 표면의 미세한 흠이나 공기 흐름이 같은 역할을 한다. 결정론적 물리가 확률처럼 보이는 결과를 낸다는 점이 골턴의 장치가 지금도 흥미로운 이유다.

카이제곱 값 읽는 법

도구는 기대 빈도가 5개 이상인 칸만 모아 χ² = Σ(관측 − 기대)²/기대를 계산한다. 공이 정말 이항분포를 따른다면 χ²는 대략 자유도와 비슷한 값 근처에서 흔들린다. 12줄, 3,000개라면 기대 빈도가 5 이상인 칸은 1번부터 11번까지 11칸이고, 전체 개수를 맞추는 제약이 하나 있으므로 자유도는 10이고, 도구도 칸 수에서 1을 뺀 10을 표시한다. 자유도 10에서 유의수준 5% 임계값은 18.31이므로 χ²가 그보다 크게 나오면 반반·독립 가정이 이 설정에서 맞지 않는다고 볼 수 있다.

예시

사용 방법

1. 핀 줄 수와 공 개수를 정한다(바꾸면 처음부터 다시 떨어진다).
2. 튕김과 투입 흔들림을 조절하고 공이 쌓이는 것을 본다.
3. 이항분포·정규분포 선과 평균·분산·카이제곱을 이론값과 비교한다.
4. 캔버스를 눌러 원하는 위치에서 공을 추가로 떨어뜨린다.

자주 묻는 질문

참고

핀 충돌에는 공이 핀 위에 멈추지 않도록 아주 작은 난수 차기가 들어간다. 무작위성의 일부는 이 처리에서 나온다.

공기 저항과 속력 상한이 들어 있어 실제 나무 보드보다 공이 덜 튀도록 조정되어 있다.