Laboratorio de Patrones de TuringBeta

Acerca de Laboratorio de Patrones de Turing

Esta herramienta resuelve las ecuaciones de reacción-difusión de Gray–Scott sobre una malla cuadrada. Cada celda guarda dos concentraciones, u y v, que se actualizan en cada paso según u' = Du∇²u − uv² + F(1−u) y v' = Dv∇²v + uv² − (F+k)v. El término uv² es la reacción U + 2V → 3V; F es la velocidad con la que entra U fresco y k la tasa adicional con la que se retira V. El laplaciano usa una plantilla 3×3 (centro −1, lados 0,2, esquinas 0,05), el paso de tiempo es 1 y los bordes son periódicos: lo que sale por la derecha entra por la izquierda. Los valores iniciales Du = 1,0 y Dv = 0,5 coinciden con el conocido tutorial de Karl Sims.

La placa vacía es u = 1, v = 0 en todas partes, y ese estado no cambia por sí solo. No ocurre nada hasta que arrastras sobre el lienzo para dejar caer un poco de V. Por eso dos ejecuciones con los mismos F y k pueden empezar distinto: las semillas son distintas. Con tiempo suficiente, la placa acaba en el patrón propio de ese punto (F, k) o sigue agitándose indefinidamente.

Lo que propuso Turing en 1952

En «The Chemical Basis of Morphogenesis» (1952), Alan Turing sostuvo que unas pocas sustancias —los morfógenos— que reaccionan entre sí y se difunden por un tejido bastan para que un tejido inicialmente homogéneo desarrolle un patrón. La difusión suele borrar diferencias; la idea de Turing fue que, si dos sustancias se difunden a velocidades distintas, la difusión puede volver inestable el equilibrio uniforme, y fluctuaciones minúsculas crecen hasta formar un patrón con una separación característica. Hoy se llama inestabilidad de Turing o inestabilidad inducida por difusión.

Aquí puedes comprobar el ingrediente clave. Sube Dv hasta igualarlo a Du (1,0). Si se ejecuta la misma regla de actualización durante 10 000 pasos, las semillas en los puntos Mitosis, Laberinto y δ desaparecen por completo con Dv = 1,0 y la placa vuelve a quedar vacía; con Dv = 0,5 esas mismas semillas crecen hasta formar patrones. Turing nunca usó el modelo de Gray–Scott, que procede de estudios de reactores químicos de los años ochenta; la versión que todo el mundo usa hoy es la del artículo de John Pearson de 1993, que le añadió difusión y la simuló en una malla.

Cómo leer el mapa F–k: dónde existe un segundo estado uniforme

Si se eliminan los términos de difusión y se buscan estados estacionarios, además del trivial u = 1, v = 0 aparece una solución con uv = F + k, pero solo si F ≥ 4(F + k)², es decir, k ≤ √F/2 − F. Esa es la curva en forma de joroba del diagrama F–k de Pearson, con su máximo en F = k = 1/16 = 0,0625.

Comparar los preajustes con esa curva es muy ilustrativo. «Mitosis» (F = 0,0367, k = 0,0649) queda a la derecha de la curva, cuyo valor allí es √0,0367/2 − 0,0367 ≈ 0,0591: no existe ningún estado uniforme con V, y sin embargo las manchas se copian a sí mismas y llenan la placa. «Coral» (F = 0,0545, k = 0,062) está justo dentro (≈ 0,0622) y «Laberinto» (F = 0,029, k = 0,057) justo fuera (≈ 0,0561). La mayoría de los patrones célebres se concentran en una franja estrecha junto a esta línea, y eso es lo más útil que enseña el mapa.

Las clases de Pearson, una por una

Pearson etiquetó los patrones con letras griegas, y Robert Munafo amplió después la clasificación y reunió coordenadas representativas en su web xmorphia. Todos los valores de abajo están dentro del rango de la herramienta (F 0–0,1, k 0,03–0,075), así que puedes escribirlos directamente en las casillas. La escala de la malla y de la difusión no es idéntica a la de los cálculos originales de Pearson, de modo que un punto cercano a una frontera puede comportarse como la clase vecina.

• α (F 0,010, k 0,047): caos de ondas breves y fragmentos de espiral
• β (F 0,014, k 0,039): ondas caóticas con huecos que se abren y cierran
• γ (F 0,022, k 0,051): gusanos y rayas ramificadas que nunca se calman
• δ (F 0,030, k 0,055): V cubre la placa y los huecos («manchas negativas») forman una red hexagonal; Pearson lo llamó patrón de Turing genuino
• ε (F 0,018, k 0,055): manchas que se dividen hasta que las zonas saturadas mueren
• θ (F 0,030, k 0,057): manchas que crecen en anillos y acaban en una red de rayas
• κ (F 0,050, k 0,063): rayas que engordan de lado hasta formar un laberinto
• λ (F 0,026, k 0,061): manchas que se multiplican por división en red hexagonal
• μ (F 0,046, k 0,065): gusanos que crecen por la punta y se alinean en paralelo
• ξ (F 0,010, k 0,041): espirales grandes y duraderas (clase añadida por Munafo)

Qué observar

Separa lo que ves en patrones que se congelan y patrones que no paran. δ y λ quedan casi quietos tras unos miles de pasos; α, β y ξ se mueven siempre. Incluso entre patrones de manchas hay diferencias: en ε las manchas siguen dividiéndose hacia el espacio libre hasta que una zona saturada se apaga de golpe, y el ciclo se repite.

Un experimento limpio consiste en fijar F y mover solo k. Con F = 0,03, pasar k de 0,055 a 0,057 y luego a 0,062 lleva de una red de huecos a anillos y redes y, por último, a manchas sueltas. Si alejas mucho k a la derecha de la curva, V no se sostiene y la placa vuelve a quedar vacía.

Du y Dv están limitados a 1,0 por una razón numérica: el cálculo da un único paso de Euler explícito por iteración y, con esta plantilla, coeficientes mayores hacen que los valores se disparen en lugar de difundirse.

Ejemplos

Cómo se usa

1. Elige un preajuste o haz clic en el mapa F–k para escoger un punto.
2. Arrastra sobre el lienzo para sembrar V y deja correr unos miles de pasos.
3. Escribe F y k en las casillas para visitar las coordenadas de cada clase.
4. Cambia Du y Dv para ver cómo la razón de difusión da forma al patrón.

Términos clave

Inestabilidad de Turing

Equilibrio uniforme que se vuelve inestable en el espacio porque dos sustancias que interactúan se difunden a velocidades distintas.

Tasa de alimentación F

Velocidad con la que U se repone desde un depósito externo; la misma tasa arrastra fuera U y V.

Tasa de eliminación k

Retirada adicional de V. La pérdida total de V es F + k.

Borde periódico

El borde derecho se une al izquierdo y el superior al inferior, así que los patrones nunca se cortan.

Preguntas frecuentes