튜링 패턴 실험실베타

튜링 패턴 실험실 소개

이 시뮬레이션은 그레이-스콧(Gray–Scott) 반응-확산 방정식을 정사각 격자 위에서 푼다. 두 물질의 농도 u, v가 칸마다 있고, 매 단계 u' = Du∇²u − uv² + F(1−u), v' = Dv∇²v + uv² − (F+k)v로 갱신된다. uv²항은 반응 U + 2V → 3V, F는 바깥에서 U를 채워 넣는 속도, k는 V가 빠져나가는 속도다. 라플라시안은 3×3 스텐실(중심 −1, 상하좌우 0.2, 대각 0.05)이고 시간 간격은 1, 가장자리는 반대편과 이어진 주기 경계다. 기본 확산 계수는 Du = 1.0, Dv = 0.5로 Karl Sims의 튜토리얼 설정과 같다.

빈 접시는 u = 1, v = 0이다. 이 상태는 그대로 두면 영원히 변하지 않는다. 캔버스를 끌어 v를 조금 떨어뜨려야 무늬가 시작된다. 그래서 같은 F, k라도 씨앗을 어디에 얼마나 뿌렸는지에 따라 초반 모양은 달라지고, 오래 돌리면 그 (F, k)가 가진 고유한 무늬로 수렴하거나 계속 요동친다.

튜링이 1952년에 말한 것

앨런 튜링은 「형태 발생의 화학적 기초」(1952)에서, 서로 반응하며 조직 속을 확산하는 물질(모르포겐) 몇 가지만으로 처음에는 균일하던 조직에 무늬가 생길 수 있다고 제안했다. 확산은 보통 농도 차이를 없애는 쪽으로 작용하는데, 두 물질의 확산 속도가 다르면 오히려 균일한 평형이 불안정해지고 작은 무작위 흔들림이 일정한 간격의 무늬로 자란다. 이것을 확산에 의한 불안정, 흔히 튜링 불안정이라 부른다.

이 도구에서 Dv를 Du와 같게(1.0) 올려 보면 이 조건을 직접 확인할 수 있다. 같은 조건으로 격자 계산을 따로 돌려 보면, 「세포 분열」·「미로」·δ 좌표 모두 Dv = 1.0에서는 뿌린 씨앗이 1만 단계 안에 전부 사라지고 빈 접시로 돌아간다. Dv를 0.5로 되돌리면 같은 씨앗에서 무늬가 자란다. 튜링 본인은 그레이-스콧 모형을 쓰지 않았다. 그레이-스콧 반응은 1980년대 화학 반응기 연구에서 나온 모형이고, 1993년 피어슨이 여기에 확산을 붙여 격자에서 돌린 것이 오늘날 널리 쓰이는 형태다.

F–k 지도 읽는 법: 균일 상태가 둘이 되는 경계

공간 변화가 없을 때(확산 항 0) 정상 상태를 풀면 u = 1, v = 0 말고도 uv = F + k를 만족하는 해가 있다. 이 해가 존재하려면 F ≥ 4(F + k)², 즉 k ≤ √F/2 − F여야 한다. 피어슨 논문의 F–k 그림에서 위로 볼록한 곡선이 이 경계다. 곡선의 꼭대기는 F = 1/16 = 0.0625, k = 0.0625다.

이 경계를 기준으로 프리셋을 보면 흥미롭다. 「세포 분열」(F = 0.0367, k = 0.0649)은 경계값 √0.0367/2 − 0.0367 ≈ 0.0591보다 k가 크다. 곧 균일하게 V가 남아 있는 상태가 아예 없는 영역인데도, 국소적인 점은 스스로를 복제하며 살아남는다. 「산호」(F = 0.0545, k = 0.062)는 경계값 ≈ 0.0622의 바로 안쪽이고, 「미로」(F = 0.029, k = 0.057)는 경계값 ≈ 0.0561의 바로 바깥이다. 이름난 무늬 상당수가 이 곡선 근처 좁은 띠에 모여 있다는 것이 지도가 알려 주는 핵심이다.

피어슨의 무늬 분류를 이 도구에서 찾아가기

피어슨은 1993년 논문에서 무늬를 그리스 문자로 분류했고, 로버트 무나포(xmorphia)가 이 분류를 확장하며 대표 좌표를 정리했다. 아래 값은 모두 이 도구의 입력 범위(F 0~0.1, k 0.03~0.075) 안에 있으니 숫자 칸에 그대로 넣으면 된다. 다만 격자 간격과 확산 계수의 척도가 피어슨의 원래 계산과 완전히 같지는 않아서, 경계 근처 값은 조금 다른 분류처럼 보일 수 있다.

• α (F 0.010, k 0.047): 짧게 살다 사라지는 물결 조각이 뒤섞인 혼돈
• β (F 0.014, k 0.039): 구멍이 열렸다 닫히는 혼돈 파동
• γ (F 0.022, k 0.051): 계속 흔들리는 지렁이·가지 모양 줄무늬
• δ (F 0.030, k 0.055): V가 넓게 덮인 바탕에 구멍(음의 점)이 육각형으로 늘어선다. 피어슨이 진짜 튜링 무늬라 부른 영역
• ε (F 0.018, k 0.055): 점이 분열하다 너무 빽빽해지면 무더기로 죽는다
• θ (F 0.030, k 0.057): 점이 고리로 자라 결국 줄무늬 그물이 된다
• κ (F 0.050, k 0.063): 폭 방향으로 자라는 줄무늬, 산울타리 같은 미로
• λ (F 0.026, k 0.061): 분열로 늘어나 육각 격자를 이루는 점
• μ (F 0.046, k 0.065): 끝에서 자라는 지렁이가 평행 줄무늬로 정렬
• ξ (F 0.010, k 0.041): 크고 오래 가는 나선파(무나포 추가 분류)

관찰 포인트

무늬가 멈춰 보이는지, 계속 움직이는지를 나눠 보자. δ나 λ는 몇 천 단계 뒤 거의 정지한 격자가 되지만, α·β·ξ는 끝까지 움직인다. 같은 점 무늬라도 ε에서는 점이 계속 분열해 빈 곳을 메우다가 과밀한 곳이 통째로 꺼지는 순환이 반복된다.

F를 고정하고 k만 0.001씩 올려 보는 것도 좋은 실험이다. F = 0.03에서 k를 0.055 → 0.057 → 0.062로 옮기면 구멍 격자 → 고리와 그물 → 흩어진 점으로 바뀐다. k가 너무 커서 곡선 오른쪽 멀리로 나가면 V가 버티지 못하고 접시가 빈 상태로 돌아간다.

Du, Dv를 1보다 크게 줄 수 없는 이유도 있다. 이 도구는 명시적 오일러 방식으로 한 단계에 한 번씩 계산하기 때문에 확산 계수가 너무 크면 값이 폭주한다. 그래서 1.0에서 잘라 두었다.

예시

사용 방법

1. 무늬 목록에서 프리셋을 고르거나, F–k 지도를 눌러 좌표를 정한다.
2. 캔버스를 끌어 씨앗(V)을 떨어뜨리고 몇 천 단계 돌려 본다.
3. 숫자 칸에 F와 k를 직접 넣어 위 분류 좌표를 하나씩 찾아간다.
4. Du, Dv를 바꿔 확산 비율이 무늬에 미치는 영향을 비교한다.

주요 용어

튜링 불안정

확산 속도가 다른 두 물질 때문에 균일한 평형이 공간적으로 불안정해지는 현상.

공급률 F

U가 바깥 저장소에서 채워지는 속도. 동시에 U와 V 모두를 씻어 내는 비율이기도 하다.

제거율 k

V가 추가로 사라지는 속도. V의 총 손실률은 F + k다.

주기 경계

오른쪽 끝이 왼쪽 끝과, 위쪽 끝이 아래쪽 끝과 이어진 경계. 무늬가 가장자리에서 잘리지 않는다.

자주 묻는 질문