Laboratorio de Efecto TúnelBeta

Acerca de Laboratorio de Efecto Túnel

Esta herramienta resuelve la ecuación de Schrödinger dependiente del tiempo en una dimensión, en unidades con ħ = m = 1. Una caja de longitud 260 se divide en 2.600 puntos de malla (separación de unos 0,1), y en cada paso de Δt = 0,04 la función de onda avanza con el método de Crank–Nicolson. En estas unidades, una partícula de momento k tiene energía E = k²/2 y su paquete se mueve a velocidad k, así que el valor por defecto E = 2 corresponde a k = 2.

Las últimas 20 unidades de cada extremo tienen un potencial absorbente complejo, de modo que las ondas que llegan al borde se desvanecen en lugar de rebotar. La herramienta suma la probabilidad absorbida en el borde izquierdo como detector de reflexión y la del borde derecho como detector de transmisión. Así, R y T en pantalla son las probabilidades que realmente salieron por cada lado cuando el paquete termina de interactuar con la barrera.

Por qué Crank–Nicolson

Si se avanza ψ con el esquema más simple, Euler explícito, la norma de la función de onda crece un poco en cada paso hasta que la simulación explota. Con el método que John Crank y Phyllis Nicolson publicaron en 1947 para la ecuación del calor, la actualización queda (1 + iHΔt/2)ψ(t+Δt) = (1 − iHΔt/2)ψ(t). Si H es hermítico, esta transformación es unitaria: la probabilidad total se conserva hasta el error de redondeo, y pasos de tiempo mayores pierden precisión pero nunca divergen.

El precio es resolver un sistema lineal en cada paso. En una dimensión H es tridiagonal, y el algoritmo de Thomas lo resuelve en un tiempo proporcional al número de puntos. La herramienta factoriza la matriz solo cuando cambia el potencial y después hace un barrido de ida y otro de vuelta por paso. Desde que Goldberg, Schey y Schwartz publicaron en 1967 películas generadas por ordenador de paquetes gaussianos que se dividen al chocar con una barrera, este tipo de simulación forma parte habitual de los cursos de mecánica cuántica.

Los límites de precisión se pueden cuantificar. Con separación 0,1, una onda con k = 2 tiene en la malla una energía cinética alrededor de un 0,3 % menor que el valor continuo, y el error de fase por paso ronda el 0,05 %. Incluso en el máximo del control de energía, E = 5 (k ≈ 3,2), el error de malla queda por debajo del 1 %.

La fórmula de transmisión de una barrera rectangular

Para una onda plana de energía E < V que incide sobre una barrera de altura V y anchura a, la probabilidad de transmisión es T = 1 / [1 + V² senh²(κa) / (4E(V − E))], con κ = √(2(V − E)) cuando ħ = m = 1. Si la barrera es gruesa, el seno hiperbólico crece como una exponencial y T ≈ 16E(V − E)/V² · e^(−2κa). Ahí está la esencia del efecto túnel: duplicar la anchura no reduce T a la mitad, sino que la multiplica otra vez por e^(−2κa).

Por encima de la barrera, con E > V, T tampoco es 1. El seno hiperbólico se convierte en un seno, T = 1 / [1 + V² sen²(qa) / (4E(E − V))] con q = √(2(E − V)), y parte de la onda se refleja aunque una partícula clásica pasaría sin problema. El escenario del escalón está construido alrededor de esa reflexión.

La curva teórica de la pantalla no es la fórmula de onda plana tal cual. Un paquete de anchura σ tiene una dispersión de momentos de aproximadamente σk = 1/(2σ), así que la herramienta calcula T(k) con matrices de transferencia y lo promedia sobre esa distribución. Si estrechas el paquete, su dispersión de energía aumenta y se suavizan rasgos finos como los picos de resonancia.

La física detrás de los escenarios

El escenario de desintegración alfa es el problema que George Gamow resolvió en 1928, mientras Gurney y Condon llegaban de forma independiente a la misma idea. Una partícula alfa escapa del núcleo aunque su energía esté por debajo de la barrera de Coulomb, y un pequeño cambio de energía altera tanto el grosor de la barrera que las vidas medias abarcan decenas de órdenes de magnitud. En la herramienta se ve en cómo T oscila en la escala logarítmica al tocar apenas el control de E.

El escenario STM es el principio del microscopio de efecto túnel que Binnig y Rohrer construyeron en 1982. Para un electrón que cruza un hueco de vacío entre metales con función de trabajo de unos 4 eV, κ vale aproximadamente 1,0 Å⁻¹, así que ensanchar el hueco 1 Å multiplica T por e^(−2) ≈ 0,13, casi un orden de magnitud. Por eso un escalón de un solo átomo se nota tanto en la corriente. El escenario del diodo túnel resonante reproduce la resonancia de doble barrera observada por Chang, Esaki y Tsu en 1974: cuando la energía de la partícula coincide con un nivel cuasiligado del pozo entre las dos barreras, la transmisión total se acerca a 1 aunque cada barrera por separado deje pasar muy poco.

Ejemplos

Cómo se usa

1. Elige un escenario: barrera básica, desintegración alfa, STM, memoria flash, diodo túnel resonante, escalón o experimento libre.
2. Ajusta la energía de la partícula, la altura y anchura de la barrera y la anchura del paquete con los controles o las asas del gráfico.
3. Lanza el paquete y compara las lecturas de los detectores de reflexión y transmisión con la curva teórica.
4. Usa el botón de medida para repetir el experimento muchas veces y ver que cada partícula cae en un solo detector.

Preguntas frecuentes