양자 터널링 실험실베타

파속이 장벽을 만나 반사·투과되는 양자 터널링을 실시간으로

이 도구는 아직 안정화 중인 베타 버전입니다. 결과가 예상과 다르면 알려주세요.

공을 벽에 던지면 반드시 튕겨 나옵니다. 하지만 전자 같은 작은 입자는 파동이라서, 에너지가 벽보다 낮아도 일부가 벽 너머로 스며 나갑니다. 이것이 양자 터널링입니다.

🏁 목표 에너지를 벽 높이보다 낮게 유지한 채 투과 확률을 45–55%로 — 양자 동전 던지기를 만드세요.

속도

양자 실험실을 준비하는 중…

캔버스를 누르면 그 자리에서 발사 · 흰 손잡이를 끌면 장벽의 높이·폭·위치가 바뀝니다

그림 읽는 법

빛나는 곡선의 높이 = 그 위치에서 입자를 발견할 확률 |ψ|². 색 = 파동의 위상(무지개처럼 돌면 앞으로 달리는 중).
회색 지형 = 퍼텐셜 V(x). 점선 = 입자의 에너지 E, 옅은 띠 = 파속이 가진 에너지 폭.
붉은 빗금 = 에너지가 모자라서 고전 입자는 절대 못 들어가는 구역. 파동은 그 안에서 지수적으로 줄어들며 스며듭니다.
양 끝의 상자 = 검출기. 도달한 확률이 쌓이고, 측정하면 한쪽만 딸깍 합니다.
단위는 ħ = m = 1 인 자연 단위입니다. 모양과 비율은 실제 현상과 같지만 숫자는 설명용입니다.

양자 터널링 실험실 소개

이 도구는 1차원 시간 의존 슈뢰딩거 방정식을 ħ = m = 1인 단위로 푼다. 길이 260의 상자를 2,600개 격자점(간격 약 0.1)으로 나누고, 한 스텝(Δt = 0.04)마다 크랭크-니콜슨 방법으로 파동함수를 앞으로 보낸다. 이 단위에서 운동량이 k인 입자의 에너지는 E = k²/2, 파속이 나아가는 속도는 k다. 기본값 E = 2라면 k = 2다.

상자 양 끝 20칸에는 복소 흡수 퍼텐셜이 깔려 있어, 끝에 닿은 파동이 튕겨 돌아오지 않고 사라진다. 도구는 왼쪽 끝에서 흡수된 확률을 「반사」, 오른쪽 끝에서 흡수된 확률을 「투과」 검출기 값으로 따로 모은다. 그래서 화면의 R과 T는 파속이 장벽을 다 지나간 뒤 실제로 양쪽으로 빠져나간 확률이다.

크랭크-니콜슨을 쓰는 이유

가장 단순한 방법(오일러 전진)으로 ψ를 한 스텝씩 밀면 파동함수의 크기가 스텝마다 조금씩 불어나 결국 폭발한다. 크랭크와 니콜슨이 1947년 열전도 방정식을 위해 낸 방법을 슈뢰딩거 방정식에 쓰면 식은 (1 + iHΔt/2)ψ(t+Δt) = (1 − iHΔt/2)ψ(t) 가 된다. H가 에르미트 행렬이면 이 변환은 유니터리여서 전체 확률이 반올림 오차 수준까지 정확히 보존되고, Δt를 키워도 발산하지 않는다.

대가는 매 스텝 연립방정식을 풀어야 한다는 점이다. 1차원에서 H는 삼중대각 행렬이라 토마스 알고리즘으로 격자점 수에 비례하는 시간(O(N))에 풀린다. 도구는 퍼텐셜이 바뀔 때만 행렬을 다시 분해해 두고, 스텝마다 앞뒤로 한 번씩 훑는다. 1967년 골드버그, 셰이, 슈워츠가 가우스 파속이 장벽에 부딪혀 갈라지는 컴퓨터 영화를 만들어 교육용으로 내놓은 뒤, 이런 1차원 시뮬레이션은 양자역학 수업의 표준 도구가 되었다.

정확도의 한계도 숫자로 볼 수 있다. 격자 간격 0.1에서 k = 2인 파동의 격자 위 운동 에너지는 연속 값보다 약 0.3% 작고, 한 스텝의 위상 오차는 0.05% 정도다. 에너지 슬라이더 최댓값 E = 5(k ≈ 3.2)에서도 격자 오차는 1% 안쪽이다.

직사각형 장벽의 투과 확률 공식

높이 V, 폭 a인 장벽에 에너지 E < V인 평면파가 들어가면 투과 확률은 T = 1 / [1 + V² sinh²(κa) / (4E(V − E))], κ = √(2(V − E)) 이다(ħ = m = 1). 장벽이 두꺼우면 sinh가 지수함수처럼 커져 T ≈ 16E(V − E)/V² · e^(−2κa)로 줄어든다. 폭이 두 배가 되면 T가 반이 되는 것이 아니라 e^(−2κa)만큼 한 번 더 곱해진다는 것이 터널링의 핵심이다.

E > V여도 T는 1이 아니다. 이때는 sinh 대신 sin이 들어가 T = 1 / [1 + V² sin²(qa) / (4E(E − V))], q = √(2(E − V))가 되어, 장벽 위를 넘어가는 입자도 일부 반사된다. 고전 역학에서는 없는 일이다. 도구의 「계단」 시나리오가 목표로 삼는 것이 바로 이 반사다.

화면의 이론 곡선은 이 평면파 공식을 그대로 쓰지 않는다. 파속은 폭 σ에 따라 운동량이 σk = 1/(2σ) 정도 퍼져 있으므로, 도구는 전달 행렬로 계산한 T(k)를 그 운동량 분포로 평균한다. σ를 좁히면 에너지 폭이 넓어져 공명 봉우리처럼 날카로운 구조가 무뎌진다.

시나리오 뒤의 실제 물리

알파 붕괴 시나리오는 1928년 가모프(그리고 거의 같은 때 거니와 콘던)가 설명한 문제다. 알파 입자는 핵의 쿨롱 장벽보다 에너지가 낮은데도 새어 나오며, 에너지가 조금만 달라도 장벽 두께가 크게 바뀌어 반감기가 수십 자릿수에 걸쳐 달라진다. 도구에서는 E 슬라이더를 조금 움직일 때 T가 로그 눈금에서 크게 흔들리는 것으로 볼 수 있다.

STM 시나리오는 1982년 비니히와 로러가 만든 주사 터널링 현미경의 원리다. 일함수 4eV 정도인 금속 사이 진공 틈에서 전자의 κ는 약 1.0 Å⁻¹이고, 틈이 1Å 늘면 투과 확률은 e^(−2) ≈ 0.13배, 대략 한 자릿수 줄어든다. 원자 하나 높이의 차이가 전류에서 크게 드러나는 이유다. 공명 터널 다이오드(RTD) 시나리오는 1974년 창, 에사키, 추가 관찰한 이중 장벽 공명으로, 두 장벽 사이 우물의 준안정 에너지와 입자 에너지가 맞으면 각 장벽의 T가 작아도 전체 T가 1에 가까워진다.

예시

기본 시나리오의 투과 확률 직접 계산

입력: E = 2, V = 2.4, 폭 a = 1.6 (ħ = m = 1)
결과: κ = √0.8 ≈ 0.894, κa ≈ 1.431, sinh(κa) ≈ 1.972 → T = 1 / (1 + 5.76 × 3.889 / 3.2) ≈ 0.125

폭을 3.2로 두 배로 늘리면 T ≈ 0.0073으로 약 17분의 1이 되고, 0.8로 반으로 줄이면 T ≈ 0.48이 된다. 기본 시나리오의 목표(E < V에서 T 45~55%)는 폭을 0.8 근처로 줄이면 달성된다. 화면 값은 파속의 운동량 퍼짐 때문에 이 평면파 값과 조금 다르다.

장벽보다 에너지가 높아도 반사된다

입력: E = 3, V = 2.4, a = 1.6
결과: q = √1.2 ≈ 1.095, sin(qa) ≈ 0.983 → T = 1 / (1 + 5.76 × 0.966 / 7.2) ≈ 0.56

고전적인 공은 100% 넘어가지만 파동은 44%가 되돌아온다. qa가 π의 정수배가 되는 에너지에서는 sin이 0이 되어 T = 1인 투과 공명이 생긴다.

사용 방법

기본 장벽, 알파 붕괴, STM, 플래시 메모리, 공명 터널 다이오드, 계단, 자유 실험 중 하나를 고른다.
입자 에너지, 장벽 높이·폭, 파속 폭을 슬라이더나 그래프 손잡이로 조절한다.
파속을 쏘고 반사·투과 검출기의 확률과 이론 곡선을 비교한다.
측정 버튼으로 같은 실험을 여러 번 반복해 입자 하나하나가 한쪽 검출기에만 잡히는 통계를 본다.

자주 묻는 질문

입자가 장벽 안에 있는 동안 에너지가 음수인가요?

장벽 안에서 파동함수는 진동하지 않고 지수적으로 줄어드는 꼴이 됩니다. 하지만 위치를 재서 입자를 장벽 안에서 찾으면 그 측정이 운동량을 크게 흔들어 에너지가 더는 E로 정해져 있지 않습니다. 음의 운동 에너지를 가진 입자를 관측하는 것은 아닙니다.

왜 투과 확률이 한 번에 0 또는 1이 아니라 비율로 나오나요?

파동함수는 확률 진폭입니다. 한 번 쏘면 입자는 한쪽 검출기에서만 잡히고, 같은 실험을 여러 번 반복했을 때 오른쪽에서 잡히는 비율이 T에 가까워집니다. 도구의 측정 통계가 이 과정을 보여 줍니다.

단위가 ħ = m = 1이면 실제 크기로는 얼마인가요?

도구의 길이와 에너지는 임의 단위입니다. 전자에 맞추려면 길이 단위를 정하고 에너지 단위를 ħ²/(m·길이²)로 두면 됩니다. 길이 단위를 1Å로 잡으면 에너지 단위는 약 7.6eV입니다.

양 끝의 흡수 영역이 결과를 바꾸지는 않나요?

흡수 퍼텐셜은 깊이에 따라 부드럽게 켜지도록(W ∝ s²) 만들어 되반사를 줄였습니다. 도구는 T·R 변화가 멈춘 순간 결과를 확정하는데, 이때 장벽을 지난 파동은 아직 오른쪽 흡수 영역에 닿기 전입니다. E = 0.2에서 계단·장벽 여러 조건을 돌려 보면 확정된 R·T는 해석해와 0.2%p 안에서 맞았습니다. 다만 계단 바로 위처럼 투과파가 아주 느리면(파수 0.45 이하) 오른쪽 흡수 영역이 그 일부를 되돌려 보내서, 결과 확정 뒤에도 계속 돌리면 R이 몇 %p(예: E = 0.25, 계단 0.2에서 약 3.7%p) 늘어납니다. 판정과 반복 측정은 확정된 값을 쓰므로 이 몫은 들어가지 않습니다.

출처

기준일: 2026-09-22

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